Changement de variable dans les intégrales multiples - epiphys

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Changement de variable dans les intégrales multiples

Description :

definition et utilisation de la methode de changement de variables dans les integrales multiples.

Intention pédagogique :

savoir faire un changement de variables dans une intégrale multiple.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1h

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


définition Soient
  • K une partie compacte et quarrable de \R^n,
  • \phi un difféomorphisme de l’intérieur de K dans son image
  • f une fonction vectorielle continue sur \phi(K)

Alors, considérant le changement de variable  x=\phi(t),


\int_{\phi(K)} f(x)dx = \int_{K} f(\phi(t))|J_{\phi}(t)|dt

Dans les conditions de ce théorème, nous considérons

  • \phi un difféomorphisme de l’intérieur de K :k dans \phi(k). C’est-à-dire que \phi est une fonction bijective de k dans \phi(k), de classe C^1, dont la réciproque est de classe C^1 dont le jacobien ne s’annule pas sur k,
  • J_{\phi}(t) la jacobienne de \phi ent, il sagit d’une matrice (n,n) dont l’élément sur la colonne i ligne j est la dérivée partielle de la ième fonction coordonnée de \phi par rapport à sa jème variable.
  • |J_{\phi}(t)| le jacobien de \phi ent est le déterminant de la jacobienne de \phi.
exemple Considérons l’application \phi définie par \phi(r,\theta)=(r.cos(\theta), rsin(\theta)) et K=\{(r,\theta) \in \R^2\ | r \in [0, 1], \theta \in [0, 2\pi]\}
  • L’intérieur de K est le plus grand ouvert à l’intérieur de K.

k=\{(r,\theta) \in \R^2\ | r \in ]0, 1[, \theta \in ]0, 2\pi[\},

  • Montrons que \phi est de classe C^1.

D’après les fonctions de référence : polynômes et trigonométriques, les fonctions qui à (r,\theta) associent r.cos(\theta) ou r.sin(\theta) sont des fonctions de classe C^\infty. Donc \phi est une fonction de classe C^\infty d’où C^1.

  • Montrons que \phi est bijective.

\phi(r,\theta)=(r.cos(\theta), rsin(\theta))=(x,y)\Leftrightarrow \left \{\begin{tabular}{l}
x=r.cos(\theta) \\  
y=r.sin(\theta)\\
 \end{tabular}

De ce système, il vient :x^2+y^2=r^2. Or r \in ]0, 1[, donc r=\sqrt{x^2+y^2}.

De même r étant non nul, nous obtenons : cos(\theta)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} et sin(\theta)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}. Connaissant son cosinus et son sinus, l’angle \theta est défini à 2\pi près. Or dans k, \theta \in ]0, 2\pi[.

Donc \forall (x,y) \in \phi(k), \exists ! (r,\theta) \in k, \ph(r,\theta)=(x,y) l’application \phi est une bijection de k dans \phi(k).

  • Montrons que le jacobien de \phi ne s’annule pas sur k.

Pour cela, nous devons déterminer d’abord la jacobienne de \phi. Par définition : J_{\phi}(t) =  \begin{pmatrix}
\frac{\delta}{\delta r}f_1(r,\theta)&\frac{\delta}{\delta r}f_2(r,\theta) \\
\frac{\delta}{\delta \theta}f_1(r,\theta)&\frac{\delta}{\delta \theta}f_2(r,\theta)
\end{pmatrix}f_1(r,\theta)=r.cos(\theta),\ f_2(r,\theta)=r.sin(\theta). J_{\phi}(t) =  \begin{pmatrix}
cos(\theta)&-rsin(\theta)\\
sin(\theta)&rcos(\theta)
\end{pmatrix}. Il s’en suit : |J_{\phi}(r,\theta)|=\begin{vmatrix}
cos(\theta)&-rsin(\theta)\\
sin(\theta)&rcos(\theta)
\end{vmatrix}=r. Sur k, ce jacobien ne s’annule pas.

\phi est un difféomorphisme de k dans \phi(k).

discussion La formule de changement de variable pour les intégrales simples est un cas particulier de la formule énoncée au-dessus.

En effet, pour une intégrale simple :

  • Soit g une fonction bijective de [\alpha, \beta] sur g\left([\alpha, \beta]\right), de dérivée continue sur [\alpha, \beta].

Cette notion correspond à celle de \phi difféomorphisme de k dans \phi(k).

  • Soit f une fonction continue sur g\left([\alpha, \beta]\right). Nous poserons a=g(\alpha) et b=g(\beta).

Cette notion correspond à f une fonction vectorielle continue sur \phi(K)

Considérant le changement de variable  x=g(t), 
\int_a^b f(x)dx = \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)).g'(t)dt

Pour une fonction g de \R dans \R, J_{g}(t) =g'(t) et |J_{g}(t)|=g'(t). Cette formule est donc un cas particulier de 
\int_{\phi(K)} f(x)dx = \int_{K} f(\phi(t))|J_{\phi}(t)|dt
.

exemple Soit \Delta=\{(x, y) \in \R^2\ | r_1^2\le x^2+y^2\le r_2^2, 0 < r_1\le r_2 \}. Calculons \int\int_{\Delta} f(x,y) dxdyf(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Vus le domaine d’intégration et la fonction f, je ne sais pas calculer directement cette intégrale. Je vais faire un changement de variable pour me ramener à un domaine de type : D=\{(x,y) \in \R^2| x\in ]a, b[, y\in ] \phi_1(x),\phi_2(x)[\}\phi_1 et \phi_2 sont deux fonctions continues de ]a, b[ dans \R (voir l’article sur le calcul d’intégrales doubles)

Je vais passer en coordonnées polaires : \phi(r,\theta)=(r.cos(\theta), rsin(\theta))=(x,y). Avec ces notations \Delta = \phi(K). Déterminons K.

\left \{\begin{tabular}{l}
r_1^2\le x^2+y^2\le r_2^2\\  
x= r.cos(\theta)\\y= r.sin(\theta) \\ 0 < r_1\le r_2 \\
 \end{tabular}   	\Rightarrow 0 <r_1\le r \le r_2 et \left \{\begin{tabular}{l} 
x= r.cos(\theta)\\y= r.sin(\theta) \\ 
 \end{tabular}   	\Rightarrow 0 \le \theta \le 2\pi

Ainsi : K=\{(r,\theta) \in \R^2\ | r \in [r_1, r_2], \theta \in [0, 2\pi]\} et k=\{(r,\theta) \in \R^2\ | r \in ]r_1, r_2[, \theta \in ]0, 2\pi[\} est l’intérieur de K.

D’après l’étude précédente, \phi est un difféomorphisme de l’intérieur de K sur son image, dont le jacobien est |J_{\phi}(r,\theta)|=r ne s’annule pas sur cet ensemble,f est une fonction intégrable sur \Delta, nous pouvons utiliser la formule de changement de variables : 
\int_{\phi(K)} f(x)dx = \int_{K} f(\phi(t))|J_{\phi}(t)|dt
.

Avec les notations de l’exemple, nous obtenons : 
\int_{\Delta} f(x,y)dxdy = \int_{K} f(\phi(r,\theta))|J_{\phi}(r,\theta)|drd\theta=\int_{K}\frac{1}{r} rdrd\theta=\int_{K}drd\theta.

Pour calculer cette intégrale :

  1. représenter le domaine d’intégration, domaine integration2
  2. choisir un ordre d’intégration, \int_{K}drd\theta=\int_{r_1}^{r_2}\int_{0}^{2\pi}drd\theta
  3. intégrer deux intégrales simples. \int_{K}drd\theta=\int_{r_1}^{r_2}dr\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi[r_2-r_1]
ce qu'il faut retenir La formule de changement de variables, les notions de difféomorphisme, jacobienne et Jacobien