Nappes paramétrées - Equations de plans tangents - epiphys

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Nappes paramétrées - Equations de plans tangents

Description :

Détermination d’un plan tangent à une nappe paramétrée, en un point régilier

Intention pédagogique :

Obtention pratique d’un plan tangent par ses équations paramétriques ou son équation implicite.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h10

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


situation-problématique Nous considérons ici une surface S de classe C^k définie par une paramétrisation F d’un ouvert U de \R^2 dans \R^3. L’application F va associer à un couple (u, v) le point M défini par le triplet F(u,v)=(f_x(u, v), f_y(u, v), f_z(u, v)).

Nous prendrons : F'_u(u,v)=(\frac{\delta}{\delta u}f_x(u, v), \frac{\delta}{\delta u}f_y(u, v), \frac{\delta}{\delta u}f_z(u, v)) le vecteur de \R^3 dont les coordonnées sont les dérivées partielles des coordonnées de F par rapport à u. Il s’agit du vecteur tangent à la surface en M en considérant v constant.

De la même façon, nous prendrons : F'_v(u,v)=(\frac{\delta}{\delta v}f_x(u, v), \frac{\delta}{\delta v}f_y(u, v), \frac{\delta}{\delta v}f_z(u, v)). vecteurs tangents

Notre objectif est ici de déterminer l’équation du plan tangent à la surface en ce point M_0=F(u_0,v_0). Nous supposerons que M_0 est un point régulier de la surface. C’est-à-dire que, en ce point, les vecteursF'_u(u_0,v_0) et F'_v(u_0,v_0) sont indépendants. En faisant cette hypothèse, ces deux vecteurs définissent une base d’un plan vectoriel.

Rappelons la définition du plan tangent en M_0 qui a été posée dans l’article Nappes paramétrées, plans tangents (I). Ces vecteurs sont tangents à la surface en M_0, en tant que vecteurs tangents aux lignes coordonnées passant par M_0, le plan affine défini par M_0 et les vecteurs F'_u(u_0,v_0) et F'_v(u_0,v_0) est appelé plan tangent à la surface en M_0.

En cas particulier, nous prendrons une surface définie par paramétrisation cartésienne, c’est à dire : S est définie par : F(x,y)=(x, y, z=f(x, y)).

Soit M_0=F(u_0,v_0) un point régulier de la surface définie par F. Un point M(x, y) appartiendra au plan tangent à la surface passant par M_0 si et seulement si le vecteur M_0M est une combinaison linéaire des vecteurs F'_u(u_0,v_0) et F'_v(u_0,v_0).

La famille composée des trois vecteurs : M_0M, F'_u(u_0,v_0) et F'_v(u_0,v_0) est donc une famille liée. Ainsi le déterminant de ces trois vecteurs est égal à 0.

méthode Dans ce repère, l’équation cartésienne (ou implicite) du plan tangent T_{M_0} à F en M_0=F(u_0,v_0)= (f_x(u_0,v_0), f_y(u_0,v_0), f_z(u_0,v_0)) est donnée par :

| M_0M \  F'_u(u_0,v_0) \ F'_v(u_0,v_0) | = 0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}
x-f_x(u_0,v_0)&\frac{\delta}{\delta u}f_x(u_0,v_0)&\frac{\delta}{\delta v}f_x(u_0,v_0)\\
y-f_y(u_0,v_0)&\frac{\delta}{\delta u}f_y(u_0,v_0)&\frac{\delta}{\delta v}f_y(u_0,v_0)\\
z-f_z(u_0,v_0)&\frac{\delta}{\delta u}f_z(u_0,v_0)&\frac{\delta}{\delta v}f_z(u_0,v_0)
\end{vmatrix}=0

M(x, y, z) est un point de T_{M_0}.

exemple Soit S la surface définie par : \forall (u, v) \in \R^2, F(u,v) = (u+v, u-v, u^2v). Déterminons l’équation du plan tangent à S en M_0=F(1, 2)=(3,-1,2).
  • Montrons que M_0 est un point régulier de la surface.

F'_u(u,v)=(\frac{\delta}{\delta u}f_x(u, v), \frac{\delta}{\delta u}f_y(u, v), \frac{\delta}{\delta u}f_z(u, v))=(1,1,2uv)

F'_v(u,v)=(\frac{\delta}{\delta v}f_x(u, v), \frac{\delta}{\delta v}f_y(u, v), \frac{\delta}{\delta v}f_z(u, v))=(1,-1,u^2)

Donc en M_0, \ F'_u(1,2)=(1,1,4),\  F'_v(1,2)=(1,-1,1). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, le point M_0 est un point régulier.

  • Déterminons l’équation de T_{M_0}, le plan tangent à S en M_0.

M \in T_{M_0}\Leftrightarrow | M_0M \  F'_u(1,2) \ F'_v(1,2) | = 0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}
x-3&1&1\\
y-(-1)&1&-1\\
z-2&4&1
\end{vmatrix}=0

M \in T_{M_0}\Leftrightarrow [(x-3)+4(y+1)-(z-2)]-[(y+1)-4(x-3)+(z-2)]=0\Leftrightarrow 5x+3y-2z-8=0

Dans le cas particulier où la surface est définie par une paramétrisation cartésienne, nous avons :

  • S est définie par F(x,y)=(x, y, z=f(x, y)).
  • M_0 est le point de coordonnées : F(x_0,y_0)=(x_0, y_0, z_0)z_0=f(x_0, y_0))
  • F'_x(x,y)=(1, 0, \frac{\delta}{\delta x}f(x,y) et F'_x(x,y)=(0, 1, \frac{\delta}{\delta y}f(x,y). D’après leurs deux premières coordonnées, ces vecteurs sont indépendants. Le point est donc régulier.
  • l’équation cartésienne de T_{M_0}, le plan tangent à S en M_0, est

M(x, y, z) \in T_{M_0}\Leftrightarrow \begin{vmatrix}
x-x_0&1&0\\
y-y_0&0&1\\
z-z_0&\frac{\delta}{\delta x}f(x_0,y_0)&\frac{\delta}{\delta y}f(x_0,y_0)
\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow (z-z_0)- \frac{\delta}{\delta x}f(x_0,y_0)(x-x_0)-\frac{\delta}{\delta y}f(x_0,y_0)(y-y_0)=0

M(x, y, z) \in T_{M_0}\Leftrightarrow (z-z_0)= \frac{\delta}{\delta x}f(x_0,y_0)(x-x_0)-\frac{\delta}{\delta y}f(x_0,y_0)(y-y_0)

énoncé déterminer l’équation du plan tangent àS définie par z=f(x,y)=x^2+y^2 au point de coordonnées (-1, 1, f(-1, 1))