Calculs d'Aires - epiphys

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Calculs d’Aires

Description :

Trois exemples de calculs d’aire d’une nappe paramétrée régulière.

Intention pédagogique :

Savoir utiliser la formule donnant l’aire d’une nappe, connaissant une paramétrisation.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1h30

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode En reprennant les notations et résultats de l’article 2-formes différentielles sur une nappe, élément d’aire, forme ds, nous considérons ici une nappe régulière \Sigma paramétrée par \left( \mathcal{V},F\right) .

Un point m est élément de \Sigma, si et seulement si il existe un couple (u, v) de \mathcal{V} tel que m=F(u,v)= (f_1(u,v), f_2(u,v), f_3(u,v)).

la nappe \Sigma étant régulière, nous savons que, en tout point de la nappe,

  • les vecteurs

    F'_u(u,v)=\begin{pmatrix}
 \frac{\partial}{\partial u}f_1(u,v)\\ \frac{\partial}{\partial u}f_2(u,v)\\ \frac{\partial}{\partial u}f_3(u,v)
\end{pmatrix},

    F'_v(u,v)=\begin{pmatrix}
 \frac{\partial}{\partial v}f_1(u,v)\\ \frac{\partial}{\partial v}f_2(u,v)\\ \frac{\partial}{\partial v}f_3(u,v)
\end{pmatrix}

    existent et sont indépendants.
  • N(u,v)=F'_u (u,v) \times F'_v(u,v) est différent du vecteur nul.

En résultat, considérant que la nappe est orientée par sa normale, l’aire A(\Sigma) de \Sigma, est définie par :

A(\Sigma)= \int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}||N(u,v)||dudv

ou

A(\Sigma)= \int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}\sqrt{||F'_u(u,v)||^2.||F'_v(u,v)||^2-<F'_u(u,v),F'_v(u,v)>^2}dudv

.

Ainsi pour calculer l’aire d’une nappe régulière \Sigma, nous allons

  1. en déterminer une paramétrisation F,
  2. calculer F'_u(u,v), F'_v(u,v) et N(u,v),
  3. calculer l’intégrale.
exemple Calculer l’aire de l’ellipsoïde de révolution d’équation implicite

\frac{x^2+y^2}{4}+z^2=1

  • choix d’une paramétrisation F de l’ellipsoïde.

    F(u,v)= (2\sin(u)\cos(v), 2\sin(u)\sin(v), \cos(u))

    (u,v) \in \mathcal{V} = [0,2\pi]^2

  • calcul de F'_u(u,v), F'_v(u,v) et N(u,v),

F'_u(u,v)=\begin{pmatrix}
2\cos(u)\cos(v)\\2\cos(u)\sin(v)\\ -\sin(u)
\end{pmatrix}, F'_u(u,v)=\begin{pmatrix}
-2\sin(u)\sin(v)\\2\sin(u)\cos(v)\\ 0
\end{pmatrix} et N(u,v)=\begin{pmatrix}
2\sin^2(u)\cos(v)\\2\sin^2(u)\sin(v)\\4\sin(u)\cos(u)
\end{pmatrix}

  • calcul de l’intégrale.

A(\Sigma)= \int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}||N(u,v)||dudv=\int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}\sqrt{(2\sin^2(u)\cos(v))^2+(2\sin^2(u)\sin(v))^2+(4\sin(u)\cos(u))^2}dudv

A(\Sigma)= \int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}\sqrt{(4\sin^2(u)+12\sin^2(u)\cos^2(u)}dudv= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi}2|sin(u)|\sqrt{(1+3\cos^2(u)}dudv

A(\Sigma)= 4\pi \int_{0}^{2\pi} |sin(u)|\sqrt{(1+3\cos^2(u)}du=8\pi \int_{0}^{\pi} sin(u)\sqrt{(1+3\cos^2(u)}du

Prenons le changement de variable : sh(x) = \sqrt{3}\cos(u).

  1. Pour u qui varie de 0 à \pi, x varie de Argsh(\sqrt3) à Argsh(-\sqrt3),
  2. ch(x)dx = -\sqrt{3}\sin(u)du,
  3. en remplaçant :

A(\Sigma)= 8\pi \int_{0}^{\pi} sin(u)\sqrt{(1+3\cos^2(u)}du=8\pi \int_{Argsh(\sqrt3)}^{Argsh(-\sqrt3)} \frac{-ch(x)}{\sqrt{3}}\sqrt{(1+sh^2(x)}dx

A(\Sigma)=  \frac{8}{\sqrt{3}}\int_{-Argsh(\sqrt3)}^{Argsh(\sqrt3)}ch^2(x)dx=  \frac{16}{\sqrt{3}}\int_{0}^{Argsh(\sqrt3)}\frac{1}{2}(ch(2x)+1)dx= \frac{8}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{2} sh(2x) +x\right]_{0}^{Argsh(\sqrt3)}=\frac{8}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{2} sh(2Argsh(\sqrt3)) +Argsh(\sqrt3)\right)

énoncé Calculer l’aire de la nappe hélicoïdale paramétrée par

F(u,v)=(2u \cos(v), 2u \sin(v), v)

(u, v) \in [0,1]^2
énoncé Déterminer l’aire du Tore défini par

F(u,v)=((20+10\cos(u)).\cos(v), (20+10\cos(u)).\sin(v), 10\sin(u))

(u,v) \in \mathcal{V} = [0,2\pi]^2