Détermination d'extrema - epiphys

Global Local Liste Concept

Détermination d’extrema

Description :

détermination des extrema d’une fonction à plusieurs variables, utilisation de la condition nécessaire et suffisante, cas particuliers

Intention pédagogique :

savoir déterminer les extrema d’une fonction à plusieurs variables


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1h20

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


situation-problématique Soit f une application définie sur un ouvert U de \R^n à valeurs dans \R et de classe C^2 sur U (C’est-à-dire que toutes les dérivées partielles secondes existent et sont continues sur U).

Soit X(x_1, x_2, ..., x_n) un élément de U.

Nous allons déterminer les extréma de f sur U. Cet article est une généralisation de la recherche d’extréma pour une fonction définie sur \R à valeurs dans \R. Pour aider à la visualisation des définitions, en parallèle, je mettrai le cas particulier n=1.

définition X est un maximum local de f ( resp. minimum) si et seulement si il existe V un voisinage de X tel que \forall x \in V, f(x) \le f(X) (resp. \forall x \in V, f(x) \ge f(X)).

Un extrémum est soit un minimum soit un maximum.

Pour n=1, cette définition devient : X est un maximum local de f ( resp. minimum) si et seulement si il existe un intervalle ]a, b[ contenant X tel que \forall x \in ]a, b[, f(x) \le f(X) (resp. \forall x \in V, f(x) \ge f(X)). exemple de minimum local

Nous dirons que

définition X est un point critique ou point stationnaire de f
  • \Leftrightarrow toutes les dérivées partielles de f en X sont nulles,
  • \Leftrightarrow le gradient de f en X est nul,
  • \Leftrightarrow la différentielle totale de f en X est nulle.
propriété Condition nécessaire d’existence d’un extrémum

Si f présente un extrémum local en X, alors X est un point critique de f.

Pour n=1, cette propriété devient : Si f présente un extémum local en X, alors la dérivée de f en X est nulle. Cette propriété correspond bien à une tangente horizontale au point d’abscisse X.

Pour n=2, cette propriété devient : Si f présente un extémum local en X, alors la diiférentielle totale d’ordre 1 de f en X est nulle. Ainsi le plan tangent à f en (X, f(X)) est horizontal.

Pour déterminer la nature du point critique (X, f(X)) pour la surface, il faut étudier la position de la surface par rapport à son plan tangent ( droite tangente si n=1). Pour cela nous allons utiliser le développement limité de f en X d’ordre 2.

f étant de classe C^2 sur U, il existe une fonction \epsilon définie sur U (rappel : f une application définie sur un ouvert U de \R^n), telle que \forall h \in \R^n tel que X+h \in U :

f(X+h)=f(X)+\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta}{\delta x_i}f(X).h_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\delta^2}{\delta x_i \delta x_j}f(X).h_i.h_j+||h||^2\epsilon(h)

\lim _{h \rightarrow 0}\epsilon(h) =0.

X étant un point critique de f, \sum_{i=1}^{n}\frac{\delta}{\delta x_i}f(X).h_i=0.

Pour déterminer le signe de f(X+h)- f(X), nous déterminerons donc celui de \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\delta^2}{\delta x_i \delta x_j}f(X).h_i.h_j.

Si \forall h \in \R^n tel que X+h \in U, f(X+h)- f(X) est positif (resp. négatif) alors (X, f(X)) est un minimum (resp. maximum) de la fonction sur U.

Si le signe n’est pas constant, ce point n’est pas un extrémum de la fonction.

Attention, dans cette conclusion, je suis sur un ouvert U et je définis un extrémum global sur cet ouvert. Si je reprends l’exemple avec n=1, le point (X, f(X)) n’est pas un extrémum sur ]0,10[ mais est un extrémum sur ]a,b[. En général, on prendra h petit et on parlera d’extrémum local.

méthode Pour chercher les extréma de f une application définie sur un ouvert U de \R^n à valeurs dans \R et de classe C^2 sur U :
  • nous cherchons les points critiques de f. Ils vérifient d_Xf=0.
  • nous déterminons si ces points sont des extréma en utilisant le DL d’ordre 2 de f en X.

cas particulier : n= 1. Si (X, f(X)) est un point critique de f,

f(X+h)=f(X)+f'(X).h+\frac{1}{2}f''(X).h^2+||h||^2\epsilon(h)=f(X)+\frac{1}{2}f''(X).h^2+||h||^2\epsilon(h) Le signe de f(X+h)-f(X) est le même que celui de f''(X).

  • si f''(X) >0 alors (X, f(X) est un minimum local,
  • si f''(X) <0 alors (X, f(X) est un maximum local. Dans l’exemple, f''(X)>0, on vérifie bien que (X, f(X)) est un minimum local de la fonction. exemple de minimum local

cas particulier : n= 2 ; X=(x_1,x_2) et h=(h_1,h_2) Si (X, f(X)) est un point critique de f,

f(X+h)=f(X)+\frac{\delta}{\delta x_1}f(X).h_1+\frac{\delta}{\delta x_2}f(X).h_2+\frac{1}{2}\left(\frac{\delta^2}{\delta x_1^2}f(X).h_1^2+2\frac{\delta^2}{\delta x_1 \delta x_2}f(X).h_1.h_2+ \frac{\delta^2}{\delta x_2 }f(X).h_2^2 \right)+||h||^2\epsilon(h)

f(X+h)-f(X)=\frac{1}{2}\left(\frac{\delta^2}{\delta x_1^2}f(X).h_1^2+2\frac{\delta^2}{\delta x_1 \delta x_2}f(X).h_1.h_2+ \frac{\delta^2}{\delta x_2 }f(X).h_2^2 \right)+||h||^2\epsilon(h)

Posons r=\frac{\delta^2}{\delta x_1^2}f(X), s=\frac{\delta^2}{\delta x_1 \delta x_2}f(X) t=\frac{\delta^2}{\delta x_2 }f(X). Nous obtenons alors : f(X+h)-f(X)=\frac{1}{2}\left(r.h_1^2+2s.h_1.h_2+ t.h_2^2 \right)+||h||^2\epsilon(h)

Par étude de l’application qui à (h_1, h_2) associe (r.h_1^2+2s.h_1.h_2+ t.h_2^2 ), nous obtenons :

  • si s^2-rt<0
    • si r>0 alors (X, f(X) est un minimum local,
    • si r<0 alors (X, f(X) est un maximum local,
  • si s^2-rt>0 alors (X, f(X) est un point selle ( encore appelé point col) de la surface,
  • si s^2-rt=0 alors cette méthode n’est pas assez précise. Soit nous ajoutons de la précision à notre DL soit il nous faut trouver une autre méthode.
définition Un point selle ( ou point col) est un point qui est un minimum de la surface suivant une direction et un maximum suivant une autre. Pour visualiser, pensez à une selle de cheval ou à un col de montagne. exemple de point col
énoncé Déterminer les extréma sur \R^2 de f(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}
erreur fréquente Pour déterminer les extréma, n’oubliez pas les bornes du domaine !!

Sur l’intervalle  [2,3], la fonction f(x)=2x présente un minimum et un extrémum. Cependant elle n’a pas de point critique.

En effet, (2,4) est un minimum de la fonction et (3,6) est un maximum.