Calculs de dérivées partielles d'ordre 2 - epiphys

Global Local Liste Concept

Calculs de dérivées partielles d’ordre 2

Description :

calculs des dérivées partielles d’ordre 2

Intention pédagogique :

savoir calculer des dérivées partielles d’ordre 2 soit directement soit avec les limites


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode Soit f une application d’une partie U de \R^n dans \R et X(x_1, x_2, ..., x_n) un élément de U.
définition la dérivée partielle de f en X par rapport à la variable x_i est la limite du rapport : \frac{f(..., x, ...)-f(..., x_i, ...)}{x-x_i} quand x tend vers x_i. Dans cette définition, les x_k, k \ne i sont des constantes.
notation \frac{\delta}{\delta x_i}f(X) = \lim_{x \rightarrow x_i}}\frac{f(..., x, ...)-f(..., x_i, ...)}{x-x_i}
De façon plus prosaîque, lorsque cela est possible, nous calculerons la dérivée partielle de f en X par rapport à la variable x_i en utilisant les fonctions de référence et en considérant les autres variables x_k, k \ne i comme des constantes.

Calculer la dérivée partielle d’ordre 2 de f en X par rapport à x_i puis par rapport à x_j revient donc à effectuer deux dérivées partielles d’ordre 1 successives ; la première par rapport à x_i, la seconde par rapport à x_j

notation \frac{\delta ^2}{\delta x_j \delta x_i}f(X)
commentaire Pour ne pas vous tromper dans l’ordre de dérivation, mettez des parenthèses !

\frac{\delta ^2}{\delta x_j \delta x_i}f(X) = \frac{\delta \delta}{\delta x_j \delta x_i}f(X) = \frac{\delta }{\delta x_j } (\frac{\delta }{\delta x_i }f)(X)

erreur fréquente Attention, les ordres de dérivation ne peuvent être intervertis arbitrairement sauf si

Théorème de Schwarz  :

Si

  • f amet des dérivées d’ordre 1 continues,
  • \frac{\delta ^2}{\delta x_j \delta x_i}f et \frac{\delta ^2}{\delta x_i \delta x_j}f existent et sont continues au voisinage de X

alors

\frac{\delta ^2}{\delta x_j \delta x_i}f(X) = \frac{\delta ^2}{\delta x_i \delta x_j}f (X)

exemple Calculer les derivées partielles d’ordre 2 de f(x,y)=x.y
  • Nous avons besoin des dérivées partielles d’ordre 1 :
    • \frac{\delta}{\delta x}f(X)=y. Pour la dérivée partielle par rapport à x, y est considérée constante.
    • \frac{\delta }{\delta y}f(X)=x. Pour la dérivée partielle par rapport à y, x est considérée constante.
  • Calculons la dérivée partielle d’ordre 2 de f par rapport à sa première variable : x.

 \frac{\delta ^2}{ \delta x^2}f(X) = \frac{\delta \delta}{\delta x \delta x}f(X)= \frac{\delta }{\delta x} (\frac{\delta}{\delta x}f)(X)=\frac{\delta }{\delta x}y=0

Dans la dernière égalité, on dérive par rapport à x, l’autre variable y est considérée comme étant constante.

  • Calculons la dérivée partielle d’ordre 2 de f par rapport à sa deuxième variable : y.

\frac{\delta ^2}{\delta y^2}f(X) = \frac{\delta }{\delta y} (\frac{\delta }{\delta y}f)(X)=\frac{\delta }{\delta y}x=0

Dans la dernière égalité, on dérive par rapport à y, l’autre variable x est considérée comme étant constante.

  • Calculons la dérivée partielle d’ordre 2 de f d’abord par rapport x puis par rapport à y.

\frac{\delta ^2}{\delta y \delta x}f(X) = \frac{\delta }{\delta y} (\frac{\delta }{\delta x}f)(X)=\frac{\delta }{\delta y}y=1

  • Calculons la dérivée partielle d’ordre 2 de f d’abord par rapport y puis par rapport à x.

\frac{\delta ^2}{\delta x \delta y}f(X) = \frac{\delta }{\delta x} (\frac{\delta }{\delta y}f)(X)=\frac{\delta }{\delta x}x=1.

commentaire Les deux dérivées partielles dites mixtes : \frac{\delta ^2}{\delta x \delta y}f et \frac{\delta ^2}{\delta y \delta x}f sont ici égales. Il s’agit d’un cas particulier. Cette fonction étant une fonction polynomiale, nous sommes dans le cadre du théorème de Schwarz. Nous n’avions donc que 3 dérivées partielles d’ordre 2 à calculer.
énoncé Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de f(x, y) = (x^2+y^2)^{\frac{1}{3}}
énoncé Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de f(x, y, z) = y+\cos (x^2yz)
énoncé Soit f la fonction définie par 
\begin{tabular}{l}
f(x,y)=\displaystyle xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},     (x,y) \ne (0, 0)  \\  
f(0,0)=0 \\
\end{tabular}
.

Calculer les dérivées partielles mixtes en (0, 0). Ces deux fonctions sont-elles continues en (0,0) ?