Calculs de Développements limités (1) - epiphys

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Calculs de Développements limités (1)

Description :

utilisation de la formule de Taylor-Young

Intention pédagogique :

Savoir calculer un DL en utilisant Taylor-Young.

A partir du DL, savoir déterminer une limite, une tangente ou la position de la tangente/courbe.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1h

Auteur(s) : Emmanuelle CALCOEN .


méthode
définition D’après Taylor-Young, le développement limité (DL) d’ordre n en x_0 d’une fonction f admettant en ce point une dérivée d’ordre n, est :

\forall x \in V_{x_0}, f(x)= \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-x_0)^k}{k!} f^{(k)}(x_0) +o((x-x_0)^n)

On notera
notation DL_n(f) en x_0

Dans le cas d’une fonction f admettant une dérivée d’ordre n au point x_0 :

  • calculer son DL_n en x_0 revient à chercher les valeurs de f et de ces n dérivées en x_0,
  • son DL_n en x_0 est une expression polynomiale de degré n.

Dans les exemples suivants, les fonctions admettent toutes une dérivée d’ordre n en x_0 . Pour obtenir un DL_n en x_0 , la formule de Taylor Young s’applique.

Les développements limités au voisinage de 0 des fonctions usuelles sont :

 \begin{tabular}{|l|}
\hline  e^x=\displaystyle 1+x +...+ \frac{x^n}{n!}+o(x^n)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}+o(x^n)\\  
\hline  sin(x)=\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\\
sin(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+1})\\
\hline  cos(x)=\displaystyle 1- \frac{x^2}{2}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n})\\  
\hline  sh(x)=\displaystyle x+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+1})\\
\hline  ch(x)=\displaystyle1+ \frac{x^2}{2}+...+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n})\\  
\hline  ln(1+x)=\displaystyle= x-\frac{x^2}{2}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{(n)!}+o(x^{n})= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k+1}\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})\\  
\hline  (1+x)^a= \displaystyle1+ax+...+a(a-1)..(a-n+1)\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})\\
(1+x)^a= \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \Pi_{p=0}^{k-1}(a-p)\frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})  \\
\hline \end{tabular}

exemple Déterminons le DL_2 en x_0=0 de f(x)=1-x+3x^2+x^3-x^5.

Première méthode :

En utilisant Taylor-Young :

 \begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline f & f(x_0)\\  
\hline  f(x)=1-x+3x^2+x^3-x^5 & f(0) =0\\
\hline  f'(x)=-1+6x+3x^2-5x^4 & f'(0) =-1\\
\hline  f''(x)=6+6x-20x^3 & f''(0) =6\\
\hline \end{tabular}

\forall x \in V_{0},

 f(x)=f(0)+f'(0)\frac{(x-0)^1}{1!} + f''(0)\frac{(x-0)^2}{2!}+o((x-0)^2)

 f(x)=1-x+3x^2+o(x^2).

Deuxième méthode :

\forall x \in V_{0},

D’après Taylor-Young, le DL_2 de f est un polynôme de degré 2 de variable (x-0) :  f(x)=a_0-a_1x+a_2x^2+o(x^2).

Dans ce cas particulier, par identification, f(x)=1-x+3x^2++o(x^2)

énoncé Déterminons le DL_3 en 0 de f(x)=e^x-cos(x).
énoncé Déterminons le DL_4 en 0 de f(x)=\cos^2(x).
erreur fréquente dans les cas de substitution, il est important de toujours noter l’ordre des DL utilisés. Toute notation de la forme \approx est à proscrire.

Par exemple, au voisinage de  x_0, nous avons cos(x) \approx 1-\frac{x^2}{2}. Donc en remplaçant dans : \forall X\in V_1, X^2 = 1+2(X-1)+(X-1)^2+o((X-1)^4) on aurait :cos^2(x) = 1+2(1-\frac{x^2}{2}-1)+(1-\frac{x^2}{2}-1)^2+o((1-\frac{x^2}{2}-1)^4) cos^2(x) = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}+o(x^4).

Certains termes de degré 4 ont été omis dans ce DL.