Mouvements et positions - epiphys

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Mouvements et positions

Description :

Définitions d’un mouvement de milieu continu, et des positions.

Intention pédagogique :

Montrer comment des définitions imprécises conduisent à des ambigüités, et y remédier.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

45 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
On ne s’intéresse ici qu’à la première étape de la cinématique, c’est à dire à l’évolution temporelle d’un milieu, sous son seul aspect géométrique.
Pour les articles du concept "Mouvement d’un milieu continu", les connaissances de calcul différentiel ou intégral supposées connues sont celles de niveau L1, L2.

situation-problématique Quels sont les ingrédients de la description d’un mouvement, et comment caractériser un milieu continu ?
discussion
  1. L’espace d’évolution est l’espace physique usuel, modélisé par un espace affine euclidien de dimension 3, noté E.
  2. Le temps est modélisé par la droite réelle, un repère de temps étant fixé.
  3. Le milieu, en général tel qu’il se présente à un instant de référence, est modélisé comme suit.
    Du point de vue géométrique, le milieu peut être tout l’espace, ou une partie de l’espace si l’on se limite à la cinématique, mais dès qu’une mesure sera envisagée (par exemple une mesure massique), ce sera une partie fermée bornée de l’espace qui peut être une courbe, ou une surface, ou une partie de mesure volumique non nulle. On écrira alors respectivement C, S, V pour désigner ce modèle, mais pour les raisonnements généraux, il est commode d’adopter une notation unique, par exemple B (comme "body").
    A chaque fois que l’on aura besoin d’utiliser l’une ou l’autre des versions du théorème de Stokes, on supposera que le bord de B est vide ou vérifie les hypothèses du théorème utilisé.
  4. Le mouvement est une application différentiable

    \phi : I \times B \to E,

    I est un intervalle de temps.
définition Définition 1

- Ces données représentent un mouvement de milieu continu si, à chaque instant t, l’application partielle \phi_t est un C^1-difféomorphisme de B sur \phi_t (B).
- Deux cas particuliers sont importants : les mouvements de solide, pour lesquels ces difféomorphismes sont des déplacements, et les mouvements à déformation homogène, pour lesquels ce sont des bijections affines (par exemple des similitudes).
- Les particules de B sont les points M \in B, le point m = \phi (t,M) est la position de la particule M à l’instant t du mouvement \phi, et l’arc paramétré t \mapsto \phi_M (t) est la trajectoire de M.

commentaire Lorsqu’un cercle est parcouru 10 fois dans un sens donné, la donnée d’un point du cercle ne renseigne pas sur le numéro du tour où il est atteint, il faut préciser à quel instant la position est atteinte.

De même, si un arc admet un point double, la notion de tangente en ce point nécessite le recours au "point paramétré".

On se gardera donc de confondre la trajectoire d’une particule, où les points sont paramétrés, avec le support de la trajectoire (ensemble des points "géométriques"), appelé l’orbite de la particule.

exemple Un repère orthonormal de l’espace E est fixé, B est un disque du plan z=0, le mouvement est défini par

(x,y,z)=\phi(t,(X,Y,0)=(X e^{kt}, Y e^{-kt}, 0).

Les trois figures ci-dessous correspondent au cas où B est le disque de rayon 0.5, centré au point (1,1), et représentent
- l’évolution du disque entre les instants 0 et 1
- un choix de quelques particules, leur position aux instants t=0,1/2,1
- Les orbites de certaines de ces particules.

question remue-méninges Si l’on voulait représenter des trajectoires, que faudrait-il ajouter ?
situation-problématique
- Une première question se pose ainsi.
Considérons une grandeur physique Q attachée au milieu continu en mouvement, et définie en chaque point à chaque instant. Cette grandeur peut-être scalaire (une pression, une température, une densité massique) ou vectorielle (un champ électromagnétique), ou tensorielle (un effort modélisé par un champ d’opérateurs symétriques).
Quel est le sens d’une écriture telle que Q(t,x,y,z) pour rendre compte de la grandeur physique au point de coordonnées x,y,z et au temps t ?
La question est
Quel est l’ensemble de définition de la fonction Q ?
Contrairement aux habitudes du calcul différentiel classique, ce n’est certainement pas le produit I \times B, ni I \times E car si l’on est au point (0,1,2) à l’instant t=0 et à l’instant t=1, Q(0,0,1,2) et Q(1,0,1,2) représentent des valeurs de Q qui ne sont pas attachées à la même particule (sauf si sa position spatiale est la même aux instants 0 et 1). Pire, il est possible que le point (0,1,2) de l’espace, qui était la position d’une particule à l’instant 0, soit à côté du milieu matériel à l’instant 1, et qu’à l’instant 1, ce point de l’espace ne représente physiquement plus rien pour le système.
Depuis hier à la même heure, la terre a tourné autour d’elle même et autour du soleil, on voit bien que pour mesurer la variation de pression entre hier et maintenant, à l’endroit où je me trouve, il faut bien préciser où est défini le champ pression.
Pour un mouvement solide, on devine une solution : il suffit que (x,y,x) représente les coordonnées de ma position dans un repère en mouvement, lié à la terre. Mais que faire pour un fluide ?

- Cette première question en contient une autre.
Qu’est-ce qu’une position de B ?
Pour un gaz en mouvement dans une enveloppe fixe, ou un cylindre solide en rotation autour de son axe, \phi_t (B) = B à chaque instant, il est donc clair que le domaine \phi_t (B) ne peut être appelé "position" du système à l’instant t.

- On sera tenté d’objecter que la difficulté est évitable en composant avec le mouvement : pour une particule donnée, la fonction

 t \mapsto Q(t,x(t),y(t),z(t))

ne présente aucune difficulté quant à son ensemble de départ et d’arrivée, mais si l’on veut différentier, comment pourrait-on parler des dérivées partielles de Q par rapport aux variables t,x,y,z puisque, en général, le couple (t,(x,y,z)) est défini sur un ensemble qui n’est pas un produit ?

discussion Il existe une notion mathématique très naturelle qui permet de lever les ambigüités, c’est la somme ou réunion disjointe, qui consiste à regarder à chaque instant l’ensemble B_t = \phi_t (B) comme élément d’une collection infinie de photos indexée par le temps.
définition Définition 2 Avec les données précédentes, l’ensemble des positions est l’ensemble noté B^\phi égal à la réunion des ensembles \{t \} \times B_t.

Pour distinguer cet ensemble B^\phi de la réunion des ensembles B_t, il est appelé (en mathématiques) ensemble somme ou réunion disjointe des B_t, et la notation \sum_{t \in I} B_t, est utilisée.

erreur fréquente Dans un ensemble produit tel que I \times B, les sections au dessus de t fixé sont identiques à B. Pour l’ensemble B^\phi des positions, les sections B_t sont seulement difféomorphes, B^\phi n’est donc pas un ensemble produit.

Pour l’exemple ci-dessus, la somme des B_t peut être visualisée ainsi (en ne retenant que trois instants).

Remarque

Les ensembles produits et les ensembles du type B^\phi relèvent des "structures fibrées", les fibres (ici les clichés à chaque instant) étant identiques dans le premier cas, et seulement difféomorphes à B dans le deuxième cas.
Lorsqu’un champ est défini sur un produit, les variables sont indépendantes, lorsqu’il est défini sur un espace fibré plus général, les variables ne sont plus indépendantes.