Lignes de courant - epiphys

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Lignes de courant

Description :

Définition des lignes de courant

Intention pédagogique :

Situer la notion de ligne de courant par rapport à celle de trajectoire, connaitre une formule de calcul en dimension 2 ou 3.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

0 h 45

Auteur(s) : Michel PAVAGEAU Pierre-Emmanuel BOURNET Pierre AIME .


introduction Rappelons qu’une trajectoire d’un champ de vecteurs \cali X dépendant ou non d’un paramètre réel (on dit, à tort, que le champ dépend du "temps"), est un arc paramétré  \tau \mapsto \gamma (\tau ) tel que

\gamma ' (\tau) = \cali X (\tau ,\gamma (\tau )).

En particulier, pour un Mouvement d’un milieu continu donné,

t \mapsto \phi (t,M), \: t \in I, \: M \in B

si l’on fixe une particule M, la trajectoire de M au sens de la cinématique est exactement la trajectoire de M vue comme trajectoire du champ eulérien des vitesses v au sens des systèmes dynamiques, le paramètre \tau est ici le temps t.


situation-problématique Un mouvement de milieu continu étant donné, si maintenant’on fixe un instant t, une particule M du milieu B est à cet instant dans la position m=\phi (t,M), la trajectoire de m au sens des systèmes dynamiques, pour le champ eulérien des vitesses à l’instant t, est une courbe qui peut être sans rapport avec le mouvement de M.

Quelle est le sens physique de telles trajectoires ?

discussion

Il s’agit de regarder une photographie du milieu à l’instant t. Sur cette photo, on peut superposer la représentation du vecteur vitesse en chaque point m (c’est le champ eulérien des vitesses v(t,m) à cet instant), et chercher à tracer sur la photo les courbes dont la tangente en chaque point m soit dirigée par le vecteur v(t,m).

Ces courbes sont des orbites du champ , on cherche à les paramétrer, évidemment t étant fixé, le paramètre \tau n’a aucun rapport avec le temps.

définition Pour un mouvement donné de milieu continu étant donné, à un instant t fixé, une ligne de courant est une orbite du champ eulérien des vitesses à cet instant.
situation-problématique Il s’agit maintenant d’obtenir une paramétrisation des lignes de courant, c’est à dire une trajectoire du champ eulérien des vitesses à l’instant t fixé.
discussion Le paramètre de la courbe cherchée \gamma est noté \tau. S’il s’agit de l’abscisse curviligne, la notation s élimite tout risque de confusion avec le temps.

La caractérisation d’une ligne de courant s’écrit ainsi en dimension 3 (avec le produit vectoriel noté \times

\vec v(t, \gamma ( \tau})) \times \gamma ' (\tau)  = \vec 0,

ou en dimension 2,

 det ( \vec v(t, \gamma ( \tau})) ,  \gamma ' (\tau) )  = 0.

Sous réserve d’une discussion (pour récupérer d’éventuelles solutions qui annuleraient certains dénominateurs), on écrit ceci

 \frac{\frac {dx}{d\tau}}{v_x}=\frac{\frac {dy}{d\tau}}{v_y}=\frac{\frac {dz}{d\tau}}{v_z}=\lambda,

ou encore

 \frac{x'}{v_x}=\frac{y'}{v_y}=\frac{z'}{v_z}=\lambda,

Il reste à résoudre ces équations différentielles.

question remue-méninges Si le champ  \vec v_t est plan et à divergence nulle, il est donc localement de la forme  \vec v_t= rot (\Psi), comment se simplifie l’équation implicite des lignes de courant ?
exemple Reprenons l’exemple de l’article Distinguer trajectoires et lignes de courant.

B est un plan, le mouvement est défini pour t>-1 par

 \phi (t,(X,Y))= ((t+1)X,t+Y)

De la relation  V(t,M)=(X,1) on déduit le champ des vitesses

 v(t,m)=(\frac {x} {t+1},1)

Les lignes de courant à un instant t fixé sont les courbes (x( \tau),y(\tau)) telles que

det \left (  \begin{array}{cc} \frac{x}{t+1} &  x' & 1 & y'  \end{array} \right ) = 0.

ce qui donne des points d’équilibre et les courbes solutions de

 \frac {x'}{x} = \frac {1}{t+1} y'

soit

 y=c \: \exp(\frac {x} {t+1})

La propriété suivante est évidente.

propriété Si le champ des vitesses est indépendant du temps (mouvement stationnaire), les lignes de courant sont confondues avec les orbites du mouvement.
notation

- Pour écrire les équations différentielles des lignes de courant, on utilise aussi la notation

\frac{dx}{V_x}=\frac{dy}{V_y}=\frac{dz}{V_z}.

C’est une "simplification par d \tau" qui cache un changement complet de point de vue, consistant à remplacer une équation différentielle par une équation de Pfaff. Evidemment, on retrouve l’équation différentielle si l’on se souvient que dx est une forme différentielle égale à la première projection, de sorte que

dx (\gamma ' (\tau)) =\frac {dx}{d\tau}

- On rencontre aussi l’écriture

 \vec v (m) \times  d \vec l = \vec 0.

Cette fois, ils’agit d’une aberration, le produit vectoriel d’une 1-forme diffétentielle par un vecteur n’existe pas.

Rappelons que, par définition, d \vec l = \vec T dl,\vec T est le vecteur unitaire tangent (premier vecteur de la base de Frenêt de l’arc \gamma (\vec T,\vec N,\vec B) ), autrement dit,

d \vec l = \vec T dl = \vec T \| \gamma ' \| d \tau = \gamma ' d \tau.

et donc

d \vec l = (\frac {dx}{d \tau}, \frac {dy}{d \tau}},\frac {dz}{d \tau}}) d \tau}.

erreur fréquente Evidemment, simplifier par d \tau est purement fantaisiste, il ne faut pas oublier que \frac {dx}{d \tau} est une notation d’un bloc qui ne se sépare pas, et qui signifie x'(\tau).

Evidemment, l’ambigüité vient de l’égalité dx= x'(\tau) d\tau, maisc’est alors une égalité entre deux formes différentielles.