Densités relativement à une mesure - epiphys

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Densités relativement à une mesure

Description :

Démonstration de la convergence de la mesure vers la densité, lorsque le diamètre du domaine d’intégration tend vers 0.

Intention pédagogique :

Si une intégrale est nulle, la fonction n’est pas nécessairement nulle, et pourtant...


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
Cet article peut être lu avec les connaissances théoriques des articles consacrés aux mesures de Radon en général, ou aux cas particuliers usuels : mesure de Lebesgue sur {{R}}^n, mesure dl sur un arc, mesure ds sur une nappe.
Il peut aussi être abordé comme une motivation pour étudier ces mesures, en se limitant au sens physique du terme "mesure".

situation-problématique En physique, on rencontre des raisonnements du type suivant (celui-ci est relatif à ce que l’on appelle l’équation de continuité.

\int \!\!\! \int \! \!\! \int_V  \left ( \frac{\partial \rho}{\partial t}+ div (\rho \overrightarrow V) \right ) dv = 0

"Cette relation doit être vérifiée pour tout élément de volume  d \nu d’où, en supprimant le signe somme il vient :

\frac{\partial \rho}{\partial t}+ div (\rho \overrightarrow V)=0 qui est l’équation de continuité".

Comment justifier une telle "suppression du signe somme" ?

D’autre part, la notion intuitive de densité de masse est celle du quotient de la masse par le volume. Si ce quotient dépend du point où l’on se place (milieu non homogène), on se restreint à la considération d’un "petit" volume autour d’un point, pour écrire \rho = \frac{dm}{dv}, ce qui devient dm = \rho dv si l’on doit intégrer pour évaluer la masse totale.

Dans ces écritures, on utilise alors le terme magique élément de masse, de volume, pour désigner par dm et dv des objets mathématiques non définis. De surcroit, si l’on peut admettre qu’ils représentent des nombres dans le quotient \frac{dm}{dv} (ces nombres sont des résultats de mesure), il n’en est plus de même dans l’expression

 \int \!\!\! \int \! \!\! \int_V  dm =  \int \!\!\! \int \! \!\! \int_V  \rho dv

qui n’aurait alors aucun sens. On n’intègre (une fonction, éventuellement constante) que relativement à une "mesure" donnée.

Sous la terminologie imagée, mais imprécise donc trompeuse des "éléments de...", se cache en réalité toute la théorie de la mesure..

discussion

Le concept de densité est relatif à une mesure. Par exemple la mesure de Lebesgue \mu _{n} de \mathbb{R}^{n}, ou la mesure dl sur une courbe, ou la mesure ds sur une surface.

Ces trois mesures sont étudiées dans les articles Mesure de Lebesgue sur \mathbb{R}, Mesure de Lebesgue sur \mathbb{R}^{n}, dl comme mesure sur une courbe, ds comme mesure sur une surface.

Notons \mu l’une de ces mesures, et envisageons une fonction réelle continue f sur une partie compacte K (de \mathbb{R}^{n}, ou d’une courbe, ou d’une surface selon la mesure choisie), et un point a fixé dans K.

La propriété qui met en évidence l’aspect "densité" de la fonction f consiste à faire varier le compact K qui contient a, de sorte que le diamètre \delta (K) tende vers 0. Rappelons que le diamètre de K est la plus grande distance d(x,y), lorsque (x,y)\in K\times K.

propriété

Proposition

Sous les hypothèses précédentes,


f(a)=\lim_{\delta (K)\rightarrow 0}\frac{\int_{K}f\ d\mu }{\mu (K)}\text{.}

Démonstration

\begin{eqnarray*}
\left\vert
\frac{\int_{K}f\ d\mu }{\mu (K)}-f(a)
 \right\vert
&=&
\left\vert
\frac{\int_{K}f\ d\mu
-\int_{K}f(a)\ d\mu }{\mu (K)} \right\vert 
  \\&\leq&
\frac{\int_{K}\left\vert f-f(a) \right\vert \ d\mu }{\mu (K)} 
\\&\leq &\left\| f-f(a)\right\| _{\infty }
\end{eqnarray*}

La norme de convergence uniforme étant prise sur K, la borne supérieure de \left\vert f(m)-f(a)\right\vert est atteinte en au moins un point m_{0}\in K, en raison de la compacité de K et de la continuité de f, et à nouveau la continuité de f prouve que \lim_{\delta (K)\rightarrow 0}\left\vert f(m_{0})-f(a)\right\vert =0, d’où le résultat.

Remarque
- Les compacts étant intégrables pour toute mesure de Radon, ce qui précède s’applique à toute mesure de Radon sur un espace métrique localement compact dénombrable à l’infini Mesures de Radon.
- Dans la proposition, l’intégrale représente l’évaluation d’une grandeur "extensive".