Fonctions Riemann-intégrables d'une variable réelle - epiphys

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Fonctions Riemann-intégrables d’une variable réelle

Description :

Définition et caractérisation des fonctions Riemann-intégrables, propriétés, convergence en moyenne.

Intention pédagogique :

Donner sous forme synthétique les définitions et propriétés utiles concernant l’intégrale de Riemann, à l’exclusion des procédés de calcul.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction L’intégration des fonctions réglées sur un segment est supposée connue Intégration des fonctions réglées.

situation-problématique Une fonction telle que \sin \frac{1}{x} sur \left] 0,1\right] , prolongée arbitrairement en 0, n’est pas réglée (elle n’admet pas de limite à droite en 0 quel que soit le prolongement.

Plus généralement, si une fonction bornée sur un segment admet un nombre fini de points de discontinuités sans être réglée, prolonger l’intégrale à ces fonctions ne peut se faire par la méthode précédente d’approximation uniforme.

Pour obtenir un deuxième prolongement de l’intégrale des fonctions en escalier, au delà des fonctions réglées, au lieu d’approximer la fonction puis l’intégrale par continuité, on cherche directement à prolonger la mesure.

On va voir que ce changement de point de vue entraine l’abandon de la convergence uniforme au profit d’une convergence plus faible : la convergence en moyenne.

discussion
propriété Proposition 1

Supposons donnés une fonction réelle f définie sur un segment I de \mathbb{R}.
Rappelons que \mathcal{E}\left(I\right) désigne l’espace vectoriel des fonctions en escalier sur I.
Notons \mathcal{E}\left( I,f,-\right) l’ensemble des fonctions en escalier sur I majorées par f, et \mathcal{E}\left( I,f,+\right) l’ensemble des fonctions en escalier sur I minorées par f.

Les propriétés suivantes sont équivalentes.

1)


\forall \varepsilon >0,\exists \varphi _{\varepsilon }\in \mathcal{E}\left(I\right) ,\exists \psi _{\varepsilon }\in \mathcal{E}\left( I\right),\varphi _{\varepsilon }\leq f\leq \psi _{\varepsilon }\text{ et }\int_{I}\left( \psi _{\varepsilon }-\varphi _{\varepsilon }\right) \leq \varepsilon \text{.}

2)


\forall \varepsilon >0,\exists \varphi _{\varepsilon }\in \mathcal{E}\left(I\right) ,\exists \theta _{\varepsilon }\in \mathcal{E}\left( I\right),\left\vert f-\varphi _{\varepsilon }\right\vert \leq \theta _{\varepsilon }\text{ et }\int_{I}\theta _{\varepsilon }\leq \varepsilon \text{.}

3)


\sup_{\varphi \in \mathcal{E}\left( I,f,-\right) }\int_{I}\varphi=\inf_{\psi \in \mathcal{E}\left( I,f,+\right) }\int_{I}\psi \text{.}

définition Définition 1

Dans les conditions de la proposition, on dit que f est intégrable au sens de Riemann sur I (en abrégé, f est R-intégrable sur I), et le réel \sup_{\varphi \in \mathcal{E}\left(I,f,-\right) }\int_{I}\varphi ou \inf_{\psi \in \mathcal{E}\left(I,f,+\right) }\int_{I}\psi est appelé intégrale (de Riemann) de f sur I, on le notera \int_{I}f.

exemple
- Toute fonction en escalier sur un segment est R-intégrable sur ce segment, et son intégrale de Riemann est égale à son intégrale en tant que fonction en escalier.
- Plus généralement, toute fonction réglée sur un segment est R-intégrable.

Il existe des fonctions intégrables non réglées. Un exemple est donné par la fonction \sin \frac{1}{x} sur \left[ 0,1\right] prolongée arbitrairement en 0. Elle est bornée, n’admet qu’un seul point de discontinuité, donc R-intégrable comme le montre la proposition 4 ci-dessous. Par contre, elle n’admet pas de limite à droite en 0.

définition Définition 2

Une partie bornée A de \mathbb{R} est R-mesurable si la fonction caractéristique \chi _{A}, restreinte à un segment I contenant A, est R-intégrable sur I.

Le réel \int_{I}\chi _{A} noté aussi Long \left( A\right) est la longueur de A.

Ceci ne dépend évidemment que de A et non du choix de I.

situation-problématique On doit maintenant vérifier si les propriétés de l’intégrale sur l’espace des fonctions réglées se prolongent aux fonctions intégrables.
discussion
propriété Proposition 2

1) L’ensemble noté \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) des fonctions R-intégrables sur un segment I de \mathbb{R} est un espace vectoriel et l’application f\longmapsto \int_{I}f est une forme linéaire positive.

Si f\in \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) , alors \left \vert f\right\vert \in \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) et  \left\vert \int_{I}f \right\vert  \leq \int_{I}\left\vert f\right\vert . En particulier, \left\vert \int_{I}f \right\vert   \leq \left\| {f}\right\| _{\infty}\right) Long \left( I\right) .

2) Sur \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) , l’application N_{1} définie par N_{1}(f)=\int_{I}\left\vert f\right\vert est une semi-norme, sa rectriction au sous-espace des fonctions continues est une norme.

3) Le produit de deux éléments f, g de \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) appartient à \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left(I\right) , \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) est donc une algèbre, et l’inégalité (de Schwarz) suivante est vérifiée. 
\left( \int_{I}f\,g\right) ^{2}\leq \left( \int_{I}f^{2}\right) \left(\int_{I}g^{2}\right)

Corollaire

Sur l’espace vectoriel des fonctions continues sur un segment I de \mathbb{R}, le crochet 
\left\langle f,g\right\rangle =\int_{I}f\,g
définit un produit scalaire. La norme quadratique associée est notée N_{2}.

définition Définition 3

Une suite \left( f_{n}\right) d’éléments de \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) converge en moyenne vers un élément f\in \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) si 
\lim_{n\rightarrow \infty }N_{1}\left( f_{n}-f\right) =0.

La "permutation des limites" pour une suite \left( f_{n}\right) de fonctions intégrables signifie qu’il existe une fonction f\in \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) telle que


\int_{I}f=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{I}f_{n}\text{.}

Si la suite \left( f_{n}\right) converge en moyenne vers f, cette propriété est vérifiée sachant que


\left\vert \int_{I}f_{n}-\int_{I}f\right\vert \leq N_{1}\left(f_{n}-f\right) \text{.}

On s’intéresse donc à des conditions suffisantes de convergence en moyenne.

propriété Proposition 3

Si une suite \left( f_{n}\right) d’éléments de \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) converge uniformément sur I vers une fonction f, alors f\in \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) et  \left( f_{n}\right) converge en moyenne vers f. Le sous-espace \mathcal{L}_{\mathcal{R}}^{1}\left( I\right) est donc complet dans l’espace de Banach \left( \mathcal{B}\left( I\right) ,\left\| {}\right\| _{\infty}\right) .

situation-problématique Outre les exemples envisagés ci-dessus, la question se pose de caractériser toutes les fonctions Riemann-intégrables par un critère plus opératoire que la définition.
discussion

Il existe une caractérisation simple des fonctions R-intégrables à l’aide des points de discontinuité.

propriété Proposition 4

Soit f:I\rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur un segment I.

f est R-intégrable si et seulement si elle vérifie les deux propriétés suivantes :

1) f est bornée sur I.

2) L’ensemble N des points de discontinuité du prolongement canonique \overline{f} de f (défini par \overline{f} (x)=0 si x \not \in I) vérifie la propriété \mathcal{N} ci dessous.


\mathcal{N}\;\;\left\{ \begin{array}{c}
\text{Pour tout }\varepsilon >0\text{, il existe une suite }\left(I_{k}\right) _{k\in \mathbb{N}}\text{ de segments de }\mathbb{R}\text{,} \\ 
\text{telle que }N\subset \bigcup_{k}I_{k}\text{ et }\forall p\in \mathbb{N},\;\sum_{k\leq p}\text{long }\left( I_{k}\right) \leq \varepsilon \text{.}
\end{array}
\right.

Parmi les ensembles et fonctions R-intégrables, caractérisons les éléments "R-négligeables".

propriété Proposition 5

Pour une partie bornée A\subset \mathbb{R}, les propriétés suivantes sont équivalentes.

1) A est R-mesurable et Long\left( A\right) =0.

2) Pour tout \varepsilon >0, il existe un segment I contenant A et une fonction g\in \mathcal{E}_{+}\left( I\right) , nulle dans I \backslash A, telle que

\chi _{A}\leq g et \int_{I}g\leq \varepsilon .

3)


\mathcal{N}^{\prime }\;\;\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{Pour tout }\varepsilon >0\text{, il existe une suite {{finie}} de segments }\left( I_{1},..,I_{l}\right) \text{ dans }\mathbb{R}, \\ 
\text{telle que }A\subset \bigcup_{k=1}^{l}I_{k}\text{ et }\sum_{k=1}^{l}\text{long }\left( I_{k}\right) \leq \varepsilon \text{.}
\end{array}
\right.

définition Définition 4

Dans ces conditions, l’ensemble A est dit Riemann-négligeable (en abrégé, R-négligeable).

Une fonction f est Riemann-négligeable (en abrégé, R-négligeable) si l’ensemble des points en lesquels f prend una valeur non nulle est Riemann-négligeable.

Remarquons que si une partie bornée A de \mathbb{R} vérifie la propriété (3), il en est de même du compact \overline{A} et de tout sous ensemble de \overline{A}.

D’autre part, toute partie bornée A de \mathbb{R} qui vérifie la propriété (1) est d’intérieur vide. En effet, \overset{\circ }{A} contient un segment I de mesure non nulle donc mes I\leq \,mes A.

propriété Corollaire

1) Une fonction R-négligeable est R-intégrable sur toute partie bornée et son intégrale est nulle.

2) Une fonction bornée définie sur un segment, nulle sauf sur une partie R-négligeable est R-intégrable et son intégrale est nulle.