Intégration des fonctions en escalier - epiphys

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Intégration des fonctions en escalier

Description :

Définition et premières propriétés de l’intégrale, pour les fonctions en escalier.

Intention pédagogique :

Mettre en évidence, dès le début, les propriétés que l’on attend d’une mesure.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction La notion de Fonction en escalier est supposée connue.

situation-problématique A l’issue de l’enseignement secondaire, chacun est habitué à l’interprétation d’une intégrale en terme d’aire, puis la technique des primitives occulte le sujet de la mesure. Qu’attend-on d’une mesure sur l’espace vectoriel \mathcal{E}\left( I\right) des fonctions en escalier sur un segment I ?
discussion
- Pour commencer, la mesure doit être linéaire.
- Elle doit être croissante : si f \ge g, on souhaite que les mesures soient dans le même ordre.
- Enfin, on a une idée spontanée de continuité. nécessaire pour faire des approximations. C’est en prenant des poids de plus en plus petits que l’on approche la mesure du poids d’un objet. La propriété de croissance citée précédemment permet des encadrements.
Mais ici, la modélisation se complique. Pour que la mesure de la limite soit la limite des mesures, il convient de choisir une notion de limite sur l’espace des fonctions envisagées.
C’est ce choix qui distingue l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue.
Pour l’intégrale de Riemann, on choisit la convergence uniforme (la plus forte), la théorie est donc plus facile, mais présente des lacunes qui seront examinées par la suite.

Voici donc le choix réalisé, qui répond aux exigences posées ci-dessus.

propriété Proposition 1

Soit \varphi une fonction en escalier sur un segment I de \mathbb{R}, et \sigma une subdivision adaptée. Notons \left(c_{1},..,c_{p}\right) la suite des valeurs de \varphi sur chacune de ces cellules.

Alors, le réel \sum_{i=1}^{p}c_{i}\left( x_{i\,-\,}x_{i-1}\right) , est indépendant du choix de la subdivision adaptée à \varphi , on le note \int_{I}\varphi .  [1]

définition Définition

\int_{I}\varphi est l’intégrale de la fonction en escalier \varphi .

Dans le cas particulier de la fonction constante égale à l’unité sur un segment I, \int_{I}1=b-a est la longueur de I.

propriété Proposition 2

Sur \mathcal{E}\left( I\right) , l’application \varphi \longmapsto \int_{I}\varphi est une forme linéaire positive (ou croissante), et donc \left\| \int_{I}\varphi \right\| \leq \int_{I}\left\| \varphi \right\| . En particulier, \left\| \int_{I}\varphi \right\| \leq \left( b-a\right) \left\| \varphi \right\| _{\infty }, ce qui prouve que la forme linéaire \int_{I} est continue sur le sous-espace vectoriel \mathcal{E}\left( I\right) de l’espace normé complet \left( \mathcal{B}\left( I\right) ,\left\| {}\right\| _{\infty }\right) des fonctions bornées, muni de la norme de la convergence uniforme.