Fonctions en escalier - epiphys

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Fonctions en escalier

Description :

Vocabulaire des fonctions en escalier

Intention pédagogique :

Fixer la terminologie


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction La notion de fonction en escalier est très naturelle. Les tarifs postaux, les tarifs d’un transporteur en général, lorsque le prix à payer n’est pas une fonction continue du poids, fournissent des exemples familiers. Mais lorsqu’il s’agit d’additionner deux fonctions en escalier, la notion et le vocabulaire doivent être précisés.

discussion
définition

Définitions

Dans \mathbb{R}, une subdivision d’un segment I=\left[ a,b\right] non réduit à un point est la donnée d’une liste \sigma=\left( x_{0}=a,...,x_{p}=b\right) , avec x_{0}<..<x_{i}<..<x_{p}.

Une subdivision \sigma ^{\prime } de I est plus fine que \sigma si les éléments de la suite \sigma sont des éléments de la suite \sigma ^{\prime }.

Les cellules de \sigma sont les intervalles ouverts de la forme \left] x_{i-1},x_{i}\right[ , 1\leq i\leq p.

Une subdivision est régulière si les cellules sont toutes de même longueur.

On écrira par exemple x_i = a+i\frac{b-a}{p},\;  i=0,..,p.

Une fonction \varphi :I\rightarrow \mathbb{R} est en escalier sur I si elle est bornée et s’il existe une subdivision \sigma de I telle que les restrictions de \varphi à chaque cellule de \sigma sont constantes.

Toute subdivision de I telle que \varphi soit constante sur chaque cellule est dite adaptée à \varphi .

Si une fonction \varphi est en escalier pour une subdivision \sigma de I, toute subdivision plus fine \sigma ^{\prime } est adaptée à \varphi .

question remue-méninges Comment écrire la somme de deux fonctions en escalier f et g sur le même intervalle I ?
propriété L’ensemble \mathcal{E}\left( I\right) des fonctions en escalier sur I est un espace vectoriel réel.