Formule de Stokes sur une surface élémentaire à bord - epiphys

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Formule de Stokes sur une surface élémentaire à bord

Description :

Formule de Stokes pour une surface élémentaire à bord dans l’espace

Intention pédagogique :

Enoncer, démontrer la formule de Stokes, et relier les deux formulations en termes de formes différentielles et de champs de vecteurs.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Il s’agit d’une première généralisation de la Formule de Green-Riemann pour un domaine élémentaire du plan, à des nappes pour lesquelles il existe une projection plane qui soit un domaine élémentaire.
discussion
propriété

Proposition

Les données sont les suivantes.

- Une nappe paramétrée (simple, régulière) F:\mathcal{V}\rightarrow \Sigma =F\left( \mathcal{V}\right) .

- Une 1-forme \alpha =Pdx+Qdy+Rdz\in \Omega ^{1}\left( \mathcal{U}
\right) , définie sur un ouvert \mathcal{U} de l’espace contenant \Sigma ,

- Un domaine élémentaire du plan. Rappelons qu’il s’agit d’une partie fermée bornée \mathcal{D}\subset \mathcal{V} , de la forme suivante :


\begin{eqnarray*}
\mathcal{D} &=&\left\{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R}^{2},a\leq u\leq b,\varphi _{1}(u)\leq v\leq \varphi _{2}(u)\right\} \\
&=&\left\{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R}^{2},c\leq v\leq d,\psi_{1}(v)\leq u\leq \psi_{2}(v)\right\} \text{,}
\end{eqnarray*}

pour des fonctions \varphi _{1},\varphi _{2},\psi _{1},\psi _{2} données, de classe C^{1}. La juxtaposition des arcs \varphi _{1},\varphi _{2} ou \psi _{1},\psi _{2} est le bord de \mathcal{D}, noté \partial \mathcal{D} .

- S=F\left( \mathcal{D}\right) est appelée une surface élémentaire à bord, le bord de S étant défini par \partial S=F\left( \partial \mathcal{D}\right) .

Alors, il existe une orientation de \partial \mathcal{D},et donc de \partial S pour laquelle

\boxed{
\oint\limits_{\partial S}\alpha =\int_{S}\mathbf{d}\alpha \text{ \ (formule de Stokes).}}

Pour démontrer la formule de Stokes, il faut transposer chacune des deux intégrales de l’espace au plan, pour se ramener à la formule de Green-Riemann.

L’outil principal est la commutation de la différentielle extérieure et de la transposition 2,3-formes différentielles en dimension 2,3 (II), proposition 4

a) Pour l’intégrale de la 2-forme \mathbf{d}\alpha sur S, cela ne pose pas de difficultés : la paramétrisation F est un difféomorphisme de \mathcal{D} sur S, et par définition,

\begin{eqnarray*}
\int_{S}\mathbf{d}\alpha &=&\int_{\mathcal{D}} {F} ^{\ast }\left( \mathbf{d}\alpha \right) \\
&=&\int_{\mathcal{D}}\mathbf{d}\left( {F}^{\ast }\alpha \right) \text{.}
\end{eqnarray*}

b) Par contre, pour le bord, la situation est plus compliquée. On imagine ce que devient le bord d’une feuille de papier rectangulaire lorsqu’elle est froissée..On peut objecter que le froissement sans déchirure est représenté par un homéomorphisme et non par un difféomorphisme en général, mais un arc du plan aussi simple qu’un cercle peut être transformé par un difféomorphisme en une courbe de l’espace qui présente des "noeuds". Dans ce cas, qu’en est-il de la surface ?

Finalement, pour énoncer le théorème de Stokes, il faut pouvoir répondre à deux questions :

- Qu’est-ce qu’une surface à bord (et en particulier un ouvert à bord du plan) ?

- Si cette surface est paramétrée par un difféomorphisme F , défini sur un ouvert à bord \mathcal{D} du plan, le bord \partial S est-il l’image par F du bord \partial \mathcal{D} ?

Une étude plus générale [1], qui dépasse le niveau de l’énoncé, montre que la relation \partial S= F \left( \partial \mathcal{D}\right) a bien lieu dans le cas particulier de l’énoncé où S est paramétré par F \left( u,v\right) =(u,v,z(u,v)), en prenant \left( u,v\right) \in \mathcal{D}, et \mathcal{D} domaine élémentaire du plan. Il est donc légitime de définir ici le bord de S par cette relation.

Un peu de réflexion et quelques dessins montrent que ceci est naturel, les points de S et ceux de \mathcal{D} se correspondant bijectivement par une projection verticale.

Passons à la démonstration :

On suppose pour simplifier que la paramétrisation de \Sigma est de la forme F\left( u,v\right) =(u,v,z(u,v)),\left( u,v\right) \in \mathcal{D}.

\partial \mathcal{D} est la réunion des deux arcs \varphi _{1} et \varphi _{2} paramétrés par u\in \left[ a,b\right] , \partial S=F \left( \partial \mathcal{D}\right) sera la réunion de deux arcs, paramétrés par \eta _{i}=F \circ \varphi _{i}, i=1,2 donc

\begin{eqnarray*}
\oint\limits_{\partial S}\alpha &=&\int_{\left[ a,b\right] }\eta _{i}^{\ast}\alpha \text{ (par d\'{e}finition)} \\
&=&\int_{\left[ a,b\right] }\varphi _{i}^{\ast }\left( F^{\ast }\alpha \right)\\
&=&\oint\limits_{\partial \mathcal{D}}F^{\ast }\alpha \text{.}
\end{eqnarray*}

La formule de Green-Riemann appliquée à la forme \beta =F^{\ast}\alpha donne le résultat cherché.

Traduction de la formule de Stokes en termes de champs de vecteurs.

Notons respectivement X et Y les champs de vecteurs associés aux formes \alpha et \mathbf{d}\alpha (1-formes différentielles), (Champs et 2-formes).

On sait (Intégrale d’une 1-forme, circulation), que 
\oint\limits_{\partial S}\alpha est aussi la circulation de X, qui s’exprime aussi en termes de mesure linéique c’est à dire (dl comme mesure sur une courbe)

\oint\limits_{\partial S}\alpha
=\oint\limits_{\partial S}\left\langle X,T\right\rangle \ dl

.

De même (Intégrale d’une 2-forme, flux), 
\int_{S}\mathbf{d}\alpha est le flux de Y, qui s’exprime aussi en termes de mesure surfacique c’est à dire (dS comme mesure sur une surface )

\int_{S}\mathbf{d}\alpha =\int_{S}\left\langle
Y,n\right\rangle \ dS

.

Enfin, Y=\overrightarrow{\text{rot}} X, c’est la définition du rotationnel.

Au total, la formule de Stokes s’écrit aussi

\boxed{
\oint\limits_{\partial S}\left\langle X,T\right\rangle \
dl=\int_{S}\left\langle \overrightarrow{\text{rot}}X,n\right\rangle \ dS
\text{.}}

ou encore

 \boxed{\oint\limits_{\partial S} X \overrightarrow {dl} =  \int_{S} \overrightarrow{\text{rot}}X \overrightarrow {dS} }