Formule de Green-Riemann sur un domaine élémentaire du plan - epiphys

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Formule de Green-Riemann sur un domaine élémentaire du plan

Description : Enoncé et démonstration de la formule de Green-Riemann, application au calcul d’aires
Intention pédagogique : Comprendre la démonstration, savoir appliquer.
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé : 1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Envisageons les partie fermées bornées \mathcal{D} de \mathbb{R}^{2} qui sont de la forme suivante :

\begin{eqnarray*}
\mathcal{D} &=&\left\{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R}^{2},a\leq u\leq b,\varphi _{1}(u)\leq v\leq \varphi _{2}(u)\right\} \\
&=&\left\{ \left( u,v\right) \in \mathbb{R}^{2},c\leq v\leq d,\psi_{1}(v)\leq u\leq \psi _{2}(v)\right\} \text{,}
\end{eqnarray*}

pour des fonctions \varphi _{1},\varphi _{2},\psi _{1},\psi _{2} données, de classe C^{1} par morceaux.

Notons respectivement \gamma _{1},\gamma_{2} et \eta _{1},\eta_{2} les arcs paramétrés par

\gamma _{1} (u)= (u, \varphi _{1}(u))

\gamma _{2} (u)= (u, \varphi _{2}(u))

\eta _{1} (v)= ( \psi _{1}(v),v)

\eta _{2} (v)= ( \psi _{2}(v),v)

orientés dans le sens croissant de u et v pour \gamma _{1} et \eta _{1} , dans le sens décroissant de u et v pour \gamma _{2} et \eta _{2} .

définition \mathcal{D} est appelé un domaine élémentaire du plan, et la juxtaposition des arcs \gamma _{1},\gamma_{2} ou \eta _{1},\eta_{2} est le bord orienté de \mathcal{D}, noté \partial \mathcal{D}.
question remue-méninges Donner des exemples simples de domaines élémentaires.

\alpha est une 1-forme différentielle définie sur un ouvert \mathcal{U} du plan, contenant \mathcal{D}.


\alpha (u,v)=P(u,v)du+Q(u,v)dv\in \Omega ^{1}\left( \mathcal{U}\right) \text{.}

Il existe alors une relation remarquable entre l’intégrale de \alpha sur le bord de \mathcal{D}, et l’intégrale de la 2-forme 
\mathbf{d}\alpha sur \mathcal{D}.

discussion

Cette relation est la formule de Green-Riemann. Pour une orientation convenable de \partial \mathcal{D} (le "sens trigonométrique"), on a l’égalité :

 \boxed{
\oint\limits_{\partial \mathcal{D}}\alpha =\int_{\mathcal{D}}\mathbf{d}
\alpha \text{.} }

Démonstration

Par définition de la différentielle extérieure,

\begin{eqnarray*}
\mathbf{d}\alpha &=&\mathbf{d(}Pdu+Qdv) \\
&=&\left( \partial _{u}Q-\partial _{v}P\right) du\wedge dv
\end{eqnarray*}

Lorsqu’on intègre, cela donne

\begin{eqnarray*}
\int_{\mathcal{D}}\mathbf{d}\alpha &=&\int \int_{\mathcal{D}}\left( \frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right) dudv \\
&=&\int \int_{\mathcal{D}}\frac{\partial Q}{\partial u}(u,v)dudv-\int\int_{\mathcal{D}}\frac{\partial P}{\partial v}(u,v)dudv
\end{eqnarray*}

Calculons \int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{D}}-\frac{\partial P}{\partial v}(u,v)dudv avec le théorème de Fubini, en paramétrant \mathcal{D} par u,

puis \int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{D}}\frac{\partial Q}{\partial u}(u,v)dudv en paramétrant \mathcal{D} par v.

\begin{eqnarray*}
\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{D}}-\frac{\partial P}{\partial v}(u,v)dudv
&=&-\int\limits_{a}^{b}\left( \int\limits_{\varphi _{1}(u)}^{\varphi_{2}(u)}\left( \frac{\partial P}{\partial v}(u,v)dv\right) \right) du \\
&=&\int\limits_{a}^{b}\left( P(u,\varphi _{1}(u)-P(u,\varphi _{2}(u)\right)du \\
&=&\oint\limits_{\gamma _{1}}P(u,v)du-\oint\limits_{\gamma _{2}}P(u,v)du \\
&=&\oint\limits_{\partial \mathcal{D}}P(u,v)du\text{,}
\end{eqnarray*}

sachant que la juxtaposition des arcs \gamma _{1} et \gamma _{2} décrits dans le sens u croissant pour \gamma _{1}, et u décroissant pour \gamma _{2} est la courbe \partial \mathcal{D} qui se trouve ainsi orientée.

On aurait de même \int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{D}}\frac{\partial Q}{\partial v}(u,v)dudv=\oint\limits_{\partial \mathcal{D}}Q(u,v)dv. Ceci prouve la formule de Green-Riemann.

situation-problématique Application de la formule de Green-Riemann au calcul des aires

La formule de Green-Riemann peut être utilisée pour calculer des aires planes.

discussion

Proposition

L’aire d’un domaine élémentaire \mathcal{D} du plan est

 \boxed{
\mathcal{A}\left( \mathcal{D}\right) =\frac{1}{2}\oint\limits_{\partial \mathcal{D}}xdy-ydx\text{.} }

Démonstration

\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\oint\limits_{\partial \mathcal{D}}xdy-ydx &=&\frac{1}{2}\int_{\mathcal{D}}\mathbf{d(}-ydx+xdy) \\
&=&\frac{1}{2}\int_{\mathcal{D}}\left( \frac{\partial (x)}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}\right) dxdy \\
&=&\frac{1}{2}\int_{\mathcal{D}}\left( 1-(-1)\right) dxdy \\
&=&\int_{\mathcal{D}}dxdy\text{ \ \ \ \ \ \ } \\
&=&\mathcal{A}\left( \mathcal{D}\right)
\end{eqnarray*}

énoncé Exercice :

Calculer l’aire du domaine bordé par l’astroïde x(t)=\cos ^{3}t, y(t)=\sin ^{3}t, en décomposant celui-ci en domaines élémentaires.