Transformer pour quoi faire... - epiphys

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Transformer pour quoi faire...

Description :

Présentation de la transformation de Laplace, premières propriétés.

Intention pédagogique :

A partir de quelques propriétés admises et incomplètement énoncées, dresser une liste des questions qui se posent et aborder l’utilisation de la transformée de Laplace pour la résolution des équations différentielles linéaires scalaires.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

0 h 45

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
La transformation de Laplace est utilisée dès le niveau L1 en automatique, ce qui conduit à une utilisation paradoxale (pour ne pas dire magique), d’un outil dont la justification ne peut pas être précise à ce niveau, en attendant de disposer des connaissances mathématiques nécessaires.
Plusieurs approches sont proposées ici, on les repèrera facilement par le niveau attaché au titre.
Commençons par observer la formule de définition.

situation-problématique

 F(p)= \int_{0} ^{+ \infty } e^{-pt} \: f(t) \: dt

Quelles questions se posent ?
  1. La variable t représente-t-elle le temps ?
  2. Que représente f ?
  3. Qu’est-ce que p ?
  4. Comment fait-on pour intégrer de \ 0 à l’infini ?
  5. A quoi cela peut-il bien servir d’associer F à la fonction f ?
discussion Quelques éléments de réponse (très incomplets pour l’instant).
  1. Oui, la variable t représente le temps, du moins dans les applications à la théorie de signal.
  2. f est donc une fonction (réelle pour commencer) du temps, qui représente la mesure d’une grandeur scalaire.
    question remue-méninges Que remarquer pour la durée d’observation ?

    Par exemple, f peut être l’intensité ou la tension d’un courant, une masse variable, le débit d’un liquide, etc.
  3. p est une variable complexe. Pourquoi ? pas d’explication pour l’instant (patience !)
  4. L’intégrale de Riemann, seule connue au niveau L1, n’a de sens que sur un segment. Pour intégrer de \ 0 à l’infini, on a besoin d’un nouvel instrument de mesure, c’est l’intégrale de Lebesgue.
  5. Dans cette introduction, passons sur les points précédents et portons notre attention sur la correspondance f \mapsto F.
    F est appelée la transformée de Laplace de f. Ecrivons

     F= \mathcal{L} (f)

    .
situation-problématique
Dans le traitement d’un "signal" f, on rencontre habituellement les transformations suivantes :

 f(t) \xrightarrow{} \boxed { \text {DERIVATION}}  \xrightarrow{} f'(t)

 f(t) \xrightarrow{} \boxed { \text {INTEGRATION}}  \xrightarrow{} \int f(t) dt

 f(t) \xrightarrow{} \boxed { \text {RETARD}}  \xrightarrow{} f(t-T)

 f(t) \xrightarrow{} \boxed { \text {AMORTISSEMENT}}  \xrightarrow{} f(t) e^{-at}

 f(t) \xrightarrow{} \boxed { \text {VALEUR FINALE}}  \xrightarrow{}  \lim_{+ \infty}f


Par exemple,
- si i(t) est l’intensité qui traverse une bobine d’induction L, la tension aux bornes est v(t)=L \frac {di}{dt}
- si i(t) est l’intensité qui traverse uncondensateur de capacité C, la tension aux bornes est v(t)=\frac{1}{C} \int i(t) dt
- pour une masse ponctuelle M, si v(t) est la vitesse, la force est f(t)= M \frac {dv}{dt}
- pour un ressort de raideur K, la force est f(t)=K \int v(t) dt
- si l’on remplit un récipient cylindrique dont la section de base est S, la relation entre le débit q(t) et la hauteur h(t) du liquide est h(t)=\frac{1}{S}  \int q(t) dt.
Quel est l’effet de la transformation de Laplace \mathcal{L} sur les "signaux" ainsi transformés ?
discussion
Soit g le "signal" transformé de f par l’une des opérations précédentes. Supposons que f(t)=0 \mbox {  pour  } t \le 0. On démontrera que, sous des hypothèses convenables, la correspondance entre les transformés de Laplace  F= \mathcal{L} (f) et  G= \mathcal{L} (g) s’établit ainsi :

 \frac{d^n f}{dt^n} \quad  {\xrightarrow { \mathcal{L}} \quad   p^n F(p)

 \int f(t)dt \quad  {\xrightarrow { \mathcal{L}} \quad   \frac{F(p)}{p}

 f(t-T)  \quad  {\xrightarrow { \mathcal{L}} \quad   e^{-pT} F(p)

 f(t)e^{-at}  \quad  {\xrightarrow { \mathcal{L}} \quad   F(p+a)

 f(t)e^{-at}  \quad  {\xrightarrow { \mathcal{L}} \quad   F(p+a)

 \lim_{+ \infty}f \quad  {\xrightarrow { \mathcal{L}} \quad   \lim_{p \to 0} p F(p) =  \lim_{+ \infty}f


Ces correspondances sont appelées fonctions de transfert associées aux diverses transformations.
Examinons de plus près un exemple d’application.
question remue-méninges
Prenons une équation différentielle d’inconnue f, de la forme

f'+af=g

Les données sont un réel a et une fonction g. Ces hypothèses seraient à préciser, on s’en tient là pour l’instant. On cherche la solution qui vérifie f(0)=0.
Ecrire la relation qui détermine  F= \mathcal{L} (f).

Evidement, pour trouver l’expression de f, il faut pouvoir "inverser" la transformation de Laplace. On démontrera que celle-ci est injective, donc si l’on peut trouver une fonction f telle que  \mathcal{L}(f)=F, on est certain que ce sera la solution, quel que soit ce procédé.
Arrivé à ce point, il faut s’appuyer sur une autre fonction de transfert. On verra en effet que  \mathcal{L} transforme le produit de convolution f*g en produit ordinaire  \mathcal{L}(f) \mathcal{L}(g).
Le produit de convolution est défini par la relation

(f*g)(t)= \int_{0} ^{t} f(u) g(t-u) du

question remue-méninges Sachant que \mathcal{L}(e^{-at})(p)=\frac {1}{p+a} (ce que l’on ne demande pas de justifier ici), achever la résolution.
pour aller plus loin Transformer une fonction causale