Transformer une fonction causale - epiphys

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Transformer une fonction causale

Description :

Quelques transformées de Laplace usuelles.

Intention pédagogique :

Obtenir des transformées de Laplace en découvrant l’intégrale de Lebesgue.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction
De l’article Transformer pour quoi faire ?, on tire une liste de questions sur l’existence et la validité des propriétés utilisées.
Cet article destiné aux étudiants de première année, ne connaissant que l’intégrale de Riemann, ne prétend pas apporter toutes les réponses, mais une entrée progressive dans le sujet.

situation-problématique
définition Appelons fonction causale toute fonction f:\textbf {R} \to \textbf {C}, nulle sur l’intervalle ] - \infty , 0[, et continue par morceaux, donc Riemann-intégrable sur tout segment.
définition La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction F de la variable complexe z définie par

 F(z)= \int_{0} ^{+ \infty } e^{-zt} \: f(t) \: dt

notation
En sciences industrielles, la variable complexe est plutôt notée p ou s, mais la transformée de Laplace a bien d’autres utilisateurs ! (en probabilités, pour l’étude des opérateurs différentiels..)

Les notations

 F= \mathcal{L} (f) \qquad  F(z)= \mathcal{L} (f) (z)

sont les plus rigoureuses, mais il peut être intéressant de rappeler le nom des variables, on écrit alors

 F(z) = \mathcal{L} (f(t)) (z)


Attention, écrire  F(z) = \mathcal{L} (f(t)) pose un sérieux problème de cohérence.

Une première question se pose : Que signifie l’intégrale de \ 0 à l’infini ?

discussion
- Rappelons que l’intégrale de Riemann n’a de sens que sur un segment. On peut évidemment songer à définir l’intégrale de \ 0 à l’infini comme limite de l’intégrale de \ 0 à X lorsque X tend vers l’infini, mais ce n’est pas suffisant. Il existe un prolongement de l’intégrale de Riemann, appelé intégrale de Lebesgue, qui permet notamment d’intégrer des fonctions sur un intervalle non borné.
- Nous aurons seulement besoin de la propriété suivante. Commençons par préciser le vocabulaire.
définition Si I est un intervalle de \textbf {R} (borné ou non), une suite exhaustive de segments de I est une suite I_n de segments inclus dans I, croissante pour l’inclusion, dont la réunion est I.
question remue-méninges Donner une suite exhaustive de ] 0,1], et de [0,+ \infty [
propriété
Soit f une fonction à valeurs complexes, définie et continue par morceaux sur un intervalle réel I quelconque.
- La fonction f est intégrable au sens de Lebesgue sur I si et seulement si il existe une suite exhaustive I_n de segments de I telle que la suite des intégrales de Riemann \int_{I_n} | f | soit convergente. Etant croissante, il suffit que cette suite soit majorée.
- Si c’est le cas, la suite \int _{I_n}  f est convergente, et sa limite est l’intégrale (au sens de Lebesgue) de f sur I, on la note

\int_I f

Ni cette limite ni son existence ne dépendent du choix de la suite exhaustive I_n.
méthode
On voit que l’application de cette propriété se fait en deux temps. D’abord l’intégrabilité, sans oublier la valeur absolue ou le module de f, puis l’intégrale.
Ces deux étapes sont évidemment confondues si f est à valeurs réelles positives.
- Par exemple, e^{-t} est intégrable sur [0,+ \infty [ sachant que \int _{[ 0,n ]}  e^{-t} dt =1-e^{-n} et par suite,

\int _{[ 0, +\infty [}  e^{-t} dt = 1


- Pour tout réel positif \alpha, différent de 1,
\int _{[ \frac{1}{n},n ]}  \frac {1}{t^{\alpha}} dt=\frac {1}{1-\alpha} ( \frac {1}{n^{1-\alpha}}-n^{1-\alpha}).
La fonction \frac {1}{t^{\alpha}} n’est donc pas intégrable sur ] 0, +\infty [. Par contre, on voit qu’elle est intégrable sur ]0,a] lorsque 0<\alpha <1, et sur [a,+ \infty [ lorsque \alpha >1, pour tout réel positif a fixé.
question remue-méninges Que peut-on conclure si \alpha =1 ?

Donnons deux exemples extrêmes de transformées de Laplace.

exemple Si f(t)=e^{-t^2}, alors
| e^{-zt} \: f(t) | = e^{-xt-t^2}=e^{\frac {x^2}{4} \; e^{-(t+ \frac {x}{2})^2} si z=x+iy.
L’intégrabilité de e^{-u} sur ] 0, +\infty [ entraine l’intégrabilité de e^{-u^2} sur [0, +\infty [ par majoration en prenant u>1 (de \ 0 à 1, la fonction est Riemann-intégrable).
Finalement, la transformée de Laplace F(z) de f est définie en tout point z du plan complexe.
exemple Si f(t)=e^{t^2}, alors
| e^{-zt} \: f(t) | = e^{-xt+t^2}, cette fonction de t n’est pas intégrable sur [0, +\infty [ quelle que soit la valeur de x.
La transformée de Laplace F(z) de f est définie en aucun point z du plan complexe.
ce qu'il faut retenir
Une première conséquence de la propriété est que l’existence de \mathcal{L} (f) (z) ne dépend que de | e^{-zt} \: f(t) |, c’est à dire de | e^{- \alpha t} \: f(t) |, si z=\alpha + i \beta, avec \alpha, \beta réels.
Si, pour une fonction causale f, \mathcal{L} (f) (z) existe pour une valeur z_0 = \alpha_0 + i \beta_0 de z, alors \mathcal{L} (f) (z) existe pour tout point z situé dans le demi-plan fermé \overline{\Pi} (\alpha_0 ) défini par Re z \ge \alpha_0.

Pour terminer, donnons deux propriétés qui ne sont que de simples remarques à ce point de la discussion, mais d’usage constant.

définition
La borne inférieure des valeurs de \alpha_0 est appelée l’abscisse de convergence de \mathcal{L}(f), on la note \sigma (f). C’est un réel, ou -\infty ou +\infty.
Pour la suite, lorsqu’une fonction causale f sera envisagée, il sera sous-entendu que \sigma (f) n’est pas égal à +\infty.
propriété Avec les notations précédentes,
- \mathcal{L}(f)(z) est défini dans le demi-plan ouvert {\Pi} (\sigma (f) ) défini par Re z >\sigma (f).
- Si f et g sont deux fonctions causales, et c une constante réelle ou complexe, alors,

\mathcal{L}(f+cg)(z)=\mathcal{L}(f)(z)+c\mathcal{L}(g)(z)

dans le demi-plan où cela a un sens.
situation-problématique
Donnons maintenant des exemples de transformées de Laplace, avec détermination de l’abscisse de convergence.
Pour la pratique, il est commode de pouvoir consulter cette liste, elle est donc fournie en fichier joint au format pdf.
Les démonstrations sont autant d’exercices instructifs. Il est recommandé de les chercher.
discussion
Tableau des transformées usuelles.
PDF - 50.1 ko
demo25.pdf

Au delà de ces traitements au cas par cas, on peut formuler ainsi un résultat plus général sur les fonctions causales "intéressantes".

propriété Soit f une fonction causale. On suppose qu’il existe M>0, k>0, t_0 >0 tels que

 \forall t \ge t_0 , \qquad  |f(t)| < M \; e^{kt}

M et k dépendant de f.
Alors, \sigma (f) est au moins égal à k.

Démonstrations.
PDF - 61.6 ko
demo26.pdf
erreur fréquente
A l’occasion des calculs réalisés dans les démonstrations précédentes, on peut se demander pourquoi il est nécessaire de procéder en deux temps pour calculer une intégrale sur un intervalle non borné.
Il peut sembler suffisant de chercher la limite éventuelle des intégrales sur une suite exhaustive de segments.
On peut trouver des exemples tels que la fonction \frac {\sin x}{x}, où l’intégrale sur [0,n] a une limite alors que l’intégrale sur [0,n] de | \frac {\sin x}{x} | n’a pas de limite finie Intéfrale de Lebesgue. Il en résulte que la fonction \frac {\sin x}{x} n’est pas intégrable sur [0,+ \infty[, et ceci est un obstacle à l’utilisation des propriétés des fonctions Lebesgue-intégrables qui seront utilisées dans la suite pour établir les propriétés de la transformation de Laplace.
pour aller plus loin Transfert