Définition de l’élément d’aire dS en tant que 2-forme sur une nappe paramétrée, calcul de l’aire.
Comprendre l’origine de la formule permettant le calcul de l’aire d’une nappe paramétrée.
2 h
Auteur(s) : Pierre AIME .
Documents joints :Par analogie avec les arcs, on pourrait se demander si l’aire serait une limite d’aires de polygones tracés sur la surface, l’article Paradoxe du lampion montre qu’il n’en est rien.
Signalons toutefois qu’il existe une justification de l’aire, basée sur une remarque de Lebesgue, comme limite de volumes en donnant "de l’épaisseur" à la surface. Pour cet aspect, on pourra se référer à [1]
L’article Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction) est supposé connu.
Résumons les résultats obtenus : Sur un arc orienté 
, paramétré par 
, où 
est un segment, il existe une 1-forme différentielle unique 
, appelée élément de longueur, qui prend en chaque point 
, la valeur 
sur un vecteur unitaire tangent dans le sens direct, et la forme transposée 
est une 1-forme sur 
notée 
.
L’intégrale 
est la longueur de l’arc.
la définition de la 2-forme "élément d’aire".
La définition de l’aire.
Sur une nappe régulière 
paramétrée par 
, définissons par analogie la 2-forme 
, appelée élément d’aire, par le fait qu’en tout point 
, 
est l’unique forme bilinéaire alternée sur le plan tangent 
, qui prend la valeur sur toute base orthomormale directe de , le plan tangent étant orienté par la base naturelle 
.
On voit l’importance de l’hypothèse "nappe régulière".
Si la paramétrisation comprend des points multiples, il est possible que cela n’affecte pas les calculs d’aire (on peut coller deux bords d’un rectangle de papier), mais si le recouvrement a une aire non nulle, celle-ci est comptée plus d’une fois. C’est la raison pour laquelle on supposera aussi que la nappe est simple c’est à dire sans points multiples, ou encore que 
est injective.
Dans les exemples et exercices de ce concept, on ne s’interdira pas de considérer des surfaces, données par une équation implicite (tores, quadriques, en particulier sphères) mais en toute rigueur, on devrait les "découper" en nappes paramétrées régulières simples. Le traitement général des aires de surfaces relève de la théorie de la mesure Mesure surfacique et flux.
Dans le cas particulier 
, l’élément d’aire est noté 
, c’est le déterminant relativement à la base canonique, que l’on notera 
ou 
.
Exemple 2
L’espace 
est orienté par la base canonique. La 2-forme 
sur , restreinte à la sphère unité 
, est l’élément d’aire 
compte-tenu de ce que 
est unitaire et normal à la sphère, pour l’orientation du plan tangent en 
compatible avec l’orientation de la normale définie par 
.
Définition 2
Dans , supposons donnée une nappe 
simple, régulière, orientée, définie sur un ouvert 
.
L’intégrale de l’élément d’aire, définie par 
, est appelée aire de la nappe si celle-ci est finie.
La forme transposée 
est une 2-forme sur 
, notée 
.
Il faut maintenant calculer la forme transposée 
.
La proposition suivante montre que le déterminant de Gram de la base naturelle est un élément du calcul. Rappelons que le déterminant de Gram d’une liste de vecteurs 
est le déterminant de la matrice (carrée d’ordre p et symétrique) des produits scalaires 
, et qu’il est nul si et seulement si la suite est liée.
On le notera Gram .
Proposition
L’aire de ne dépend pas de la paramétrisation, pourvu que celle-ci respecte l’orientation de , et
avec 
(produit vectoriel), vecteur normal à en 
.
Ainsi, l’aire de apparait comme le flux du champ unitaire normal 
Démonstration de la proposition
L’invariance de l’aire par un changement de paramètres admissible est un cas particulier de la propopsition 1 de Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction).
Remarques
Comme pour , la notation , bien que consacrée par l’usage, est malheureuse, sachant que ces formes ne sont pas exactes.
En pratique, on oriente la nappe par un choix du champ normal 
le résultat devant être positif. Un regard plus précis sur l’orientation n’est utile que si l’on veut expliciter la forme élément d’aire.
Dans le cas d’une nappe admettant une paramétrisation cartésienne, c’est à dire de la forme
et 
. Vérifier que 
.
On remarquera en outre que pour une surface plane, la fonction 
étant nulle, on retrouve l’expression habituelle de l’aire 
.
Exercice 2
et le paramétrage par co-latitude et longitude 
.
.Remarque
A priori, comme on l’a déja souligné, la forme ds ne permet que le calcul de l’aire d’une nappe paramétrée simple régulière. Lors d’un calcul d’aire, comme pour la sphère ci-dessus, on doit additionner des aires de nappes. Il est alors fréquent de passer sous silence l’omission de certains arcs sur la surface, qui échappent à la paramétrisation. Ceci se justifie d’une manière générale en utilisant l’une des deux propriétés suivantes (que l’on admettra ici et qui sont dues en fait à l’utilisation implicite de la mesure définie par ds, ce qui sera précisé dans le concept Mesure surfacique et Flux,
L’aire d’une nappe ne change pas si l’on enlève un arc 
paramétré par un segment de .
L’aire de la frontière d’une partie fermée bornée du plan est nulle.
L’exemple de la courbe de Péano (continue) qui remplit le carré unité montre qu’il faut être vigilant.
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est la mesure de Lebesgue sur 
est une autre paramétrisation admissible, et 
les paramètres pour 
en fonction du déterminant jacobien du changement de paramètres et de
et 
est le produit de la matrice jacobienne de 
par la jacobienne de 
en 
et la longitude 
,
![(u,v)=(\theta ,\varphi )\in \left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi \right[](local/cache-vignettes/L196xH31/c4bdbb6e576f4816614af837257ca658-94520.png "(u,v)=(\theta ,\varphi )\in \left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi \right["){kind=small}
![\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(S^{2}) &=&\int_{S^2}\lambda ^{S^2} \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi \right[}F^{\ast }\lambda ^{\Sigma } \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi \right[}A(\theta ,\varphi )d\theta d\varphi
\end{eqnarray*}](local/cache-vignettes/L364xH125/f069abff2f975f4f72ac9501b85d240a-ee8a3.png "\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(S^{2}) &=&\int_{S^2}\lambda ^{S^2} \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi \right[}F^{\ast }\lambda ^{\Sigma } \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi \right[}A(\theta ,\varphi )d\theta d\varphi
\end{eqnarray*}")
est donné dans l’article 
, alors
, 
, 
,
![\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(S^{2}) &=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi\right[ }(\cos^2 \theta \sin \theta +\sin^3 \theta \cos ^{2}\varphi +\sin^3 \theta \sin ^{2}\varphi )d\theta d\varphi \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi\right[ }\sin \theta d\theta d\varphi \\
&=&2\pi \times \left[ \cos \theta\right] _{\pi}^{0} \\
&=&4\pi
\end{eqnarray*}](local/cache-vignettes/L469xH143/e1dd9eccf9171b4aa41418d104c40835-3462e.png "\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(S^{2}) &=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi\right[ }(\cos^2 \theta \sin \theta +\sin^3 \theta \cos ^{2}\varphi +\sin^3 \theta \sin ^{2}\varphi )d\theta d\varphi \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi\right[ }\sin \theta d\theta d\varphi \\
&=&2\pi \times \left[ \cos \theta\right] _{\pi}^{0} \\
&=&4\pi
\end{eqnarray*}")
, on trouve aussi 
car 
![\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(S^{2}) &=&\int_{S^2}dS \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi\right[ }\left\| N(\theta ,\varphi )\right\| d\theta d\varphi \\
&=&4\pi
\end{eqnarray*}](local/cache-vignettes/L374xH114/eebec60cac6f7e5da9d0f5c147d344f7-251f8.png "\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}(S^{2}) &=&\int_{S^2}dS \\
&=&\int \int_{\left] 0,\pi \right[ \times \left] 0,2 \pi\right[ }\left\| N(\theta ,\varphi )\right\| d\theta d\varphi \\
&=&4\pi
\end{eqnarray*}")
ou 
et 
avec 
![\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}\left( \Sigma \right) &=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{V)}}\sqrt{1+\frac{\rho^2}{1-\rho^2}}\rho d\rho d\theta \\
&=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\left] 0,2\pi \right[ \times \lbrack 0,1]}\frac{\rho }{\sqrt{1-\rho^2}}d\rho d\theta \\
&=&2\int\limits_{\left] 0,2\pi \right[ }\left[ -\sqrt{1-\rho^2}\right] _{0}^{1}d\theta \\
&=&2\times 2\pi =4\pi
\end{eqnarray*}](local/cache-vignettes/L365xH193/f9aaf2cd150a8d69813603b707f397f8-0a3fe.png "\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}\left( \Sigma \right) &=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{V)}}\sqrt{1+\frac{\rho^2}{1-\rho^2}}\rho d\rho d\theta \\
&=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\left] 0,2\pi \right[ \times \lbrack 0,1]}\frac{\rho }{\sqrt{1-\rho^2}}d\rho d\theta \\
&=&2\int\limits_{\left] 0,2\pi \right[ }\left[ -\sqrt{1-\rho^2}\right] _{0}^{1}d\theta \\
&=&2\times 2\pi =4\pi
\end{eqnarray*}")
