2-Formes différentielles sur une nappe, élément d`aire, forme dS - epiphys

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2-Formes différentielles sur une nappe, élément d`aire, forme dS

Description :

Définition de l’élément d’aire dS en tant que 2-forme sur une nappe paramétrée, calcul de l’aire.

Intention pédagogique :

Comprendre l’origine de la formule permettant le calcul de l’aire d’une nappe paramétrée.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Curieusement, il est difficile de trouver une présentation intuitive et non artificielle de la notion d’aire pour une surface. La définition choisie ici n’est justifiée que par sa cohérence avec le cas des longueurs, et des aires de domaines plans, ou les volumes n-dimensionnels (Forme volume canonique, élément de volume) mais aucune justification géométrique n’apparait naturellement (la formule de calcul montre une densité de mesure en termes d’aires de parallélogrammes construits en chaque point avec la base naturelle de chaque plan tangent, mais est-ce bien "naturel" ?).

Par analogie avec les arcs, on pourrait se demander si l’aire serait une limite d’aires de polygones tracés sur la surface, l’article Paradoxe du lampion montre qu’il n’en est rien.

Signalons toutefois qu’il existe une justification de l’aire, basée sur une remarque de Lebesgue, comme limite de volumes en donnant "de l’épaisseur" à la surface. Pour cet aspect, on pourra se référer à  [1]

L’article Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction) est supposé connu.


situation-problématique Afin de procéder par analogie, il est recommandé de commencer par se remémorer le cas des arcs paramétrés (1-forme sur un arc, élément de longueur, forme dl).

Résumons les résultats obtenus : Sur un arc orienté \Gamma , paramétré par \left( I,\gamma \right) \,, où I est un segment, il existe une 1-forme différentielle unique \lambda ^{\Gamma }, appelée élément de longueur, qui prend en chaque point m\in \Gamma , la valeur +1 sur un vecteur unitaire tangent dans le sens direct, et la forme transposée \gamma ^{\ast }\lambda^{\Gamma }=\left\| \gamma ^{\prime }\right\| dt est une 1-forme sur \mathbb{R} notée dl.

L’intégrale \oint\limits_{\Gamma }\lambda ^{\Gamma}=\int_{I}dl=\int_{I}\left\| \gamma ^{\prime }\right\| est la longueur de l’arc.

discussion Comme pour la longueur d’un arc, nous procédons en deux étapes :
- la définition de la 2-forme "élément d’aire".
- La définition de l’aire.
définition Définition 1

Sur une nappe régulière \Sigma paramétrée par \left( \mathcal{V},F\right) , définissons par analogie la 2-forme \lambda ^{\Sigma }, appelée élément d’aire, par le fait qu’en tout point m=F(u,v)\in \Sigma , \lambda ^{\Sigma }(m) est l’unique forme bilinéaire alternée sur le plan tangent T_{m}\Sigma , qui prend la valeur +1 sur toute base orthomormale directe de T_{m}\Sigma , le plan tangent étant orienté par la base naturelle \left( \partial _{u}F,\partial_{v}F\right) .

limitations
- On voit l’importance de l’hypothèse "nappe régulière".
question remue-méninges Rappeler la signification de cette hypothèse.

- Si la paramétrisation comprend des points multiples, il est possible que cela n’affecte pas les calculs d’aire (on peut coller deux bords d’un rectangle de papier), mais si le recouvrement a une aire non nulle, celle-ci est comptée plus d’une fois. C’est la raison pour laquelle on supposera aussi que la nappe est simple c’est à dire sans points multiples, ou encore que F est injective.

- Dans les exemples et exercices de ce concept, on ne s’interdira pas de considérer des surfaces, données par une équation implicite (tores, quadriques, en particulier sphères) mais en toute rigueur, on devrait les "découper" en nappes paramétrées régulières simples. Le traitement général des aires de surfaces relève de la théorie de la mesure Mesure surfacique et flux.

exemple Exemple 1

Dans le cas particulier \Sigma = \mathbb{R}^{2}, l’élément d’aire est noté \lambda _{2}, c’est le déterminant relativement à la base canonique, que l’on notera \det_{can} ou du\wedge dv.

Exemple 2

L’espace \mathbb{R}^{3} est orienté par la base canonique. La 2-forme \omega (m)=x\ dy\wedge dz+y\ dz\wedge dx+z\ dx\wedge dy sur \mathbb{R}^{3}, restreinte à la sphère unité S^{2}, est l’élément d’aire \lambda ^{S^{2}} compte-tenu de ce que n =\left( x,y,z\right) est unitaire et normal à la sphère, pour l’orientation du plan tangent en m compatible avec l’orientation de la normale définie par n.

définition

Définition 2

Dans \mathbb{R}^{3}, supposons donnée une nappe F, C^{1}, simple, régulière, orientée, définie sur un ouvert \mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}.
L’intégrale de l’élément d’aire, définie par \int_{\Sigma}\lambda ^{\Sigma }=\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\lambda ^{\Sigma }, est appelée aire de la nappe si celle-ci est finie.
La forme transposée F^{\ast }\lambda ^{\Sigma } est une 2-forme sur \mathbb{R}^{2}, notée dS.

Il faut maintenant calculer la forme transposée  dS = F^{\ast }\lambda^{\Sigma }.
La proposition suivante montre que le déterminant de Gram de la base naturelle est un élément du calcul. Rappelons que le déterminant de Gram d’une liste de vecteurs (v_{1},..,v_{p}) est le déterminant de la matrice (carrée d’ordre p et symétrique) des produits scalaires \left( \left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle \right) , et qu’il est nul si et seulement si la suite (v_{1},..,v_{p}) est liée.

On le notera Gram (v_{1},..,v_{p}).

propriété

Proposition

L’aire de \Sigma ne dépend pas de la paramétrisation, pourvu que celle-ci respecte l’orientation de \Sigma , et

\begin{eqnarray*}
\int_{\Sigma }\lambda ^{\Sigma } &=&\int_{\mathcal{V}}dS \\
&=&\int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}\sqrt{\text{Gram }\left(\partial _{u}F(u,v),\partial _{v}F(u,v)\right) }dudv \\
&=&\int\!\!\!\int_{\mathcal{V}}\left\| N(u,v)\right\| dudv\text{.}
\end{eqnarray*}

avec N=\partial _{u} F \times \partial _{v} F (produit vectoriel), vecteur normal à \Sigma en m=F(u,v).

Ainsi, l’aire de \Sigma apparait comme le flux du champ unitaire normal n=\frac {N}{\|N\|}.

ce qu'il faut retenir On retiendra pour les calculs la formule

 \boxed { dS=\left\| N\right\| dudv }

bien qu’en réalité, il s’agit de dS=\left\| N\right\| du\wedge dv.
notation En fait, dudv est la mesure de Lebesgue sur \mathbb{R}^{2} qui prolonge l’élément d’aire  \lambda _2 = du\wedge dv Mesures de Radon.

Démonstration de la proposition

PDF - 55.2 ko
demo23.pdf

L’invariance de l’aire par un changement de paramètres admissible est un cas particulier de la propopsition 1 de Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction).

question remue-méninges Retrouver la démonstration de cette propriété d’invariance dans le cas particulier envisagé ici.

Remarques

- Comme pour dl, la notation dS, bien que consacrée par l’usage, est malheureuse, sachant que ces formes ne sont pas exactes.

- En pratique, on oriente la nappe par un choix du champ normal N, le résultat devant être positif. Un regard plus précis sur l’orientation n’est utile que si l’on veut expliciter la forme élément d’aire.

énoncé Exercice 1

Dans le cas d’une nappe \Sigma admettant une paramétrisation cartésienne, c’est à dire de la forme


F\left( u,v\right) =ui+vj+z(u,v)k\text{, }

on note traditionnellement p=\partial _{u}z et q=\partial _{v}z. Vérifier que \mathcal{A}\left( \Sigma \right) =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}} \sqrt{1+p^{2}+q^{2}}dudv.

On remarquera en outre que pour une surface plane, la fonction z étant nulle, on retrouve l’expression habituelle de l’aire \mathcal{A}\left(\Sigma \right) =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}dudv.

Exercice 2

énoncé Calculer l’aire de la sphère unité par trois méthodes différentes :
  1. En utilisant la définition, c’est à dire l’élément d’aire \lambda ^{S^{2}}=x\ dy\wedge dz+y\ dz\wedge dx+z\ dx\wedge dy et le paramétrage par co-latitude et longitude \left( u,v\right) =\left(\theta ,\varphi \right) .
  2. En utilisant la formule de la proposition, et le paramétrage par co-latitude et longitude \left( u,v\right) =\left( \theta ,\varphi \right) .
  3. En utilisant la formule de l’exercice 1 (pour chaque demi-sphère).

Remarque

A priori, comme on l’a déja souligné, la forme ds ne permet que le calcul de l’aire d’une nappe paramétrée simple régulière. Lors d’un calcul d’aire, comme pour la sphère ci-dessus, on doit additionner des aires de nappes. Il est alors fréquent de passer sous silence l’omission de certains arcs sur la surface, qui échappent à la paramétrisation. Ceci se justifie d’une manière générale en utilisant l’une des deux propriétés suivantes (que l’on admettra ici et qui sont dues en fait à l’utilisation implicite de la mesure définie par ds, ce qui sera précisé dans le concept Mesure surfacique et Flux,

- L’aire d’une nappe ne change pas si l’on enlève un arc C^{1} paramétré par un segment de \mathbb{R}.

- L’aire de la frontière d’une partie fermée bornée du plan est nulle.

L’exemple de la courbe de Péano (continue) qui remplit le carré unité montre qu’il faut être vigilant.