Exemple de l'élément de volume euclidien - epiphys

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Exemple de l’élément de volume euclidien

Intention pédagogique :
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
La démarche suivie pour les concepts éléments de longueur et éléments d’aire consistait à partir de l’algèbre (mesurer des segments, des parallélogrammes en termes de déterminants) puis définir l’élément de longueur sur un arc, ou l’élément d’aire sur une nappe, qui sont respectivement les 1-formes \lambda ^{\Gamma }, et 2-formes \lambda^{\Sigma }, obtenues en considérant des déterminants précédents sur la tangente ou le plan tangent en chaque point.
Ensuite, la longueur d’un arc ou l’aire d’une nappe était définie comme l’intégrale des formes \lambda ^{\Gamma }, et \lambda ^{\Sigma} , le calcul se faisant par une transposition qui ramène à une intégrale simple ou double sur le domaine du paramètre pour un arc, ou des deux paramètres pour une nappe.
On cherche ici à prolonger cette démarche en dimension supérieure.

situation-problématique Comment se prolonge la première étape (algébrique) ?
discussion Dans un espace vectoriel euclidien \overrightarrow{E}, de dimension n, le déterminant d’une n-liste \left( v_{1},...,v_{n}\right) dans une base orthonormale est indépendant du choix de cette base pourvu qu’elle soit directe.

Il existe donc une seule forme n-linéaire alternée notée \lambda _{n} qui vérifie la relation

\lambda _{n}\left( \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\right) =1 pour toute base orthonormale directe \left( \varepsilon _{1},...,\varepsilon_{n}\right) .

En effet, si \left( e_{1},...,e_{n}\right) est une autre base orthonormale, l’unique bijection linéaire qui transforme \left(e_{i}\right) en \left( \varepsilon _{j}\right) est une isométrie, et c’est une rotation si elles sont de même sens, donc les formes \det_{\left( e_{i}\right) } et \det_{\left( \varepsilon _{j}\right) }, qui sont reliées par


\det_{\left( e_{i}\right) }=\det_{\left( e_{j}\right) }\left( \varepsilon_{j}\right) \det_{\left( \varepsilon _{j}\right) }=\det_{\left( \varepsilon_{j}\right) }\text{.}

Si \overrightarrow{E}=\mathbb{R}^{n}, muni de la structue euclidienne usuelle, \lambda _{n} n’est autre que le déterminant relatif à la base canonique, on écrira \lambda _{n}=\det_{can} ou encore, en généralisant ce qui a été dit pour les 2-formes sur \mathbb{R}^{2} , on écrira


\lambda _{n}=\text{ }dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}\text{.}

définition Définition 1

\lambda _{n} est appelée la n-forme (ou forme volume) canonique sur \overrightarrow{E}, ou élément de volume sur \overrightarrow{E}. Pour une n-liste \left(v_{1},..,v_{n}\right) de vecteurs de \overrightarrow{E}, le scalaire noté \delta _{n}\left( v_{1},..,v_{n}\right) = \left\vert \lambda _{n}\left( v_{1},..,v_{n}\right) \right\vert est la mesure n-dimensionnelle de \left( v_{1},..,v_{n}\right) relativement à la structure euclidienne de \overrightarrow{E}.

Cas particuliers

- Si n=3, \delta _{3}\left( v_{1},v_{2},v_{3}\right) est simplement appelé le volume du parallélépipède construit sur \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) .

- Si n=2, \delta _{2}\left( v_{1},v_{2}\right) est l’aire du parallélogramme construit sur \left( v_{1},v_{2}\right) .

- Si n=1, \delta _{1}\left( v\right) est la norme euclidienne du vecteur v.

situation-problématique Comme on l’a vu pour le parallélogramme (Aires planes et déterminants), la question se pose du calcul effectif de cette mesure, et de la relation entre cette mesure et l’intégrale multiple de la fonction caractéristique du pavé construit sur \left( v_{1},...,v_{n}\right) .
discussion

1) D’une part, rappelons que la matrice de Gram G(v_{1},...,v_{n}) est la matrice des produits scalaires \left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle , ce qui fournit un procédé de calcul des volumes. En effet,


\delta _{n}\left( v_{1},...,v_{n}\right) =\sqrt{\det G(v_{1},...,v_{n})}

Démonstration

Le résultat est clair si la suite \left( v_{1},...,v_{n}\right) est liée. Sinon, notons L l’automorphisme qui transforme une base orthonormale directe \left( e_{1},...,e_{n}\right) en (v_{1},...,v_{n}), et A la matrice de L dans la base \left( e_{1},...,e_{n}\right) .

Alors d’une part


\lambda _{n}\left( v_{1},...,v_{n}\right) =\lambda _{n}\left(L(e_{1}),...,L(e_{n})\right) =\left( \det L\right) \lambda _{n}\left(e_{1},...,e_{n}\right) =\det L\text{,}

d’autre part, la matrice ^{t}A\;A n’est autre que G(v_{1},...,v_{n}), de sorte que \det G(v_{1},...,v_{p})=\left( \det L\right) ^{2}, ce qui donne le résultat.

2) D’autre part, le théorème du changement de variables dans les intégrales multiples pour la mesure de Lebesgue \mu _{n} sur \mathbb{R}^{n} s’applique à l’automorphisme L ci-dessus, lorsque la suite \left( v_{1},...,v_{n}\right) est libre. Notons K le pavé construit sur \left( v_{1},...,v_{n}\right) , L^{-1}(K) est le cube unité (pavé construit sur \left( e_{1},...,e_{n}\right) ), il vient \int_{K}\mu_{n}=\int_{L^{-1}(K)}\left\vert \det L\right\vert \mu _{n}=\det L, sachant que \int_{L^{-1}(K)}\mu _{n}=1, et donc


\delta _{n}\left( v_{1},...,v_{n}\right) =\int_{K}\mu _{n}=\int_{\mathbb{R}
^{n}}1_{K}\ \mu _{n}\text{.}

situation-problématique Ce qui précède constitue la première étape de la mesure n-dimensionnelle des objets de \mathbb{R}^{n}. Lorsqu’on se limite aux n-listes de vecteurs, autrement-dit aux pavés, cette mesure peut être obtenue simplement avec l’outil algébrique du déterminant, et si l’on utilise l’intégrale de Lebesgue, cela semble une utilisation anecdotique.

L’étape suivante consiste à mesurer des sous-ensembles de \mathbb{R}^{n} bien plus généraux : on sait que toute partie compacte de \mathbb{R}^{n} est intégrable pour la mesure de Lebesgue \mu _{n}, les ouverts sont mesurables, mais la mesure peut être infinie.

discussion Rappelons que la mesure de Lebesgue d’une partie intégrable A\subset \mathbb{R}^{n} est l’intégrale de la fonction caractéristique 1_{A} . L’ensemble des points de discontinuité de 1_{A} peut être compliqué, mais on a vu que si A est fermé, ce sont les points de A/\overset{\circ }{A}, c’est à dire les points frontière de A, et que la frontière de A est négligeable, de sorte que \int_{A}1_{A}\ \mu _{n}=\int_{\overset{\circ }{A}}1_{A}\ \mu _{n} dans ce cas.

Précisons aussi que le choix de la mesure \mu _{n} est essentiel. Pour un carré C de côté c placé dans l’espace \mathbb{R}^{3}, il convient de ne pas confondre \int_{C}1_{C}\ \mu _{3}=0, et \int_{C}1_{C}\ \mu _{2}=c^{2}.

définition Définition 2

Si f est une fonction Lebesgue-intégrable sur R^{n} , posons

\int_{\mathbb{R}^{n}}f\ \lambda _{n}=\int_{\mathbb{R}^{n}}f\ \mu _{n}.

En particulier, si A est une partie intégrable de 
R^{n}, \int_{\mathbb{R}^{n}}1_{A}\ \lambda _{n} est la mesure n-dimensionnelle de A, relativement à la structure euclidienne de R^{n}, (aire si n=2, longueur si n=1 ), on notera mes_{n}(A) cette mesure.

Cette définition est évidemment un prolongement de la précédente, et l’on peut écrire


\text{mes}_{n}(A)=\int_{A}dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}=\int_{A}dx^{1}...dx^{n} \text{.}

propriété Proposition

Si U,V sont des ouverts de R^{n}, \phi : U\rightarrow V un difféomorphisme, et f une fonction Lebesgue-intégrable sur V, alors f\circ \phi est intégrable sur U, et


\int_{U}\phi ^{\ast }\left( f\lambda _{n}\right) =\pm \int_{V}f\lambda _{n}

selon que \det (J\phi )>0 ou <0.

Démonstration

Rappelons que \phi ^{\ast }\left( f\lambda _{n}\right) =(f\circ \phi )\phi^{\ast }\lambda _{n}=(f\circ \phi )(\det J\phi )\lambda _{n}, la proposition revient ainsi à écrire le théorème du changement de variables pour l’intégrale de f .