Aire d`un parallélogramme - epiphys

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Aire d`un parallélogramme

Description :

Trois méthodes pour calculer l’aire d’un parallélogramme.

Intention pédagogique :

Relier le point de vue de l’algèbre et le point de vue du calcul intégral pour le calcul d’une aire plane dans le cas d’un parallélogramme.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


Notons  \Sigma  la surface plane bordée par un parallélogramme ABCD .
- Un procédé pour le calcul de l’aire de  \Sigma  , est l’intégrale double de la fonction caractéristique Intégrales multiples.

  \mathcal{A} \left (  \Sigma   \right ) =\int \! \! \! \int_{\Sigma}}dudv \textrm{.}

Le calcul de l’intégrale double par le procédé de Fubini n’est simple que si le parallélogramme est un rectangle. Sinon, il est plus simple d’utiliser un changement de variables.  \Sigma  est en effet l’image du carré unité  \mathcal{C} de  \mathbb{R} ^{2} par la bijection affine  \theta  qui transforme O en A, et dont la partie linéaire transforme la base canonique  \left ( i,j \right ) en  \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{AC}. Le théorème du changement de variables dans l’intégrale double donne

  \mathcal{A} \left (  \Sigma   \right ) = \left \mid \textrm{det}_{ \left ( i,j \right ) } \left (  \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right )  \right \mid       
\mathcal{A} \left (   \mathcal{C} \right ) = \left \mid \textrm{det}_{ \left ( i,j \right ) } \left (  \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right )  \right \mid  \textrm{.}

- Un autre procédé pour le calcul de l’aire de  \Sigma  , est la formule donnée en collège

 \mathcal{A} \left (  \Sigma   \right ) =AB \; \; CH \textrm{,}

H est le projeté orthogonal de C sur la droite \left( AB\right) .
Pour vérifier que le résultat est le même, il suffit de décomposer  \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AH}+ \overrightarrow{HC}.

- En vue d’une généralisation aux surfaces non planes, il est utile de savoir exprimer   \mathcal{A} \left (  \Sigma   \right ) uniquement en fonction des produits scalaires des vecteurs  \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{AC}.
Une méthode est la suivante : dans la base orthonormale  \left (i,j \right ) , notons M= \left (
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
  \right ) la matrice de  \theta  . Alors,

^{t}M    M= \left ( 
 \begin{array}{cc}
{AB^{2}   &    \left  \langle   \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right  \rangle   \cr     \left  \langle   \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right  \rangle    &   AC^{2}}
\end{array}
  \right ).

La propriété  \textrm{det}     ^{t}M=\textrm{det} M donne aussitôt la formule

  \mathcal{A} \left (  \Sigma   \right ) = \sqrt[{}]{AB^{2}AC^{2}- \left  \langle   \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right  \rangle  ^{2} \textrm{.}}