Trois méthodes pour calculer l’aire d’un parallélogramme.
Relier le point de vue de l’algèbre et le point de vue du calcul intégral pour le calcul d’une aire plane dans le cas d’un parallélogramme.
15 mn
Auteur(s) : Pierre AIME .
Notons la surface plane bordée par un parallélogramme
.
Un procédé pour le calcul de l’aire de
, est l’intégrale double de la fonction caractéristique Intégrales multiples.
Le calcul de l’intégrale double par le procédé de Fubini n’est simple que si le parallélogramme est un rectangle. Sinon, il est plus simple d’utiliser un changement de variables. est en effet l’image du carré unité
de
par la bijection affine
qui transforme
en
, et dont la partie linéaire transforme la base canonique
en
et
. Le théorème du changement de variables dans l’intégrale double donne
Un autre procédé pour le calcul de l’aire de
, est la formule donnée en collège
où est le projeté orthogonal de
sur la droite
.
Pour vérifier que le résultat est le même, il suffit de décomposer .
En vue d’une généralisation aux surfaces non planes, il est utile de savoir exprimer
uniquement en fonction des produits scalaires des vecteurs
et
.
Une méthode est la suivante : dans la base orthonormale , notons
la matrice de
. Alors,