Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction)

Description : Intégration le long d’une nappe, d’une 2-forme définie sur un ouvert de Rn, ou le long de la nappe.

Intention pédagogique : Rassembler les définitions et propriétés de base concernant l’intégration d’une 2-forme.
Niveau : L2
Temps d'apprentissage conseillé : 1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

introduction L’article 2,3-formes différentielles (I) est supposé connu.

En physique, on est plus intéressé par l’intégration d’un champ de vecteurs le long d’une nappe Flux vectoriel à travers l’enveloppe d’un cube . En fait, ce sont les formes que l’on intègre, il convient d’y revenir pour démontrer les propriétés, bien que chacune puisse être énoncée en termes de champs de vecteurs.

Les données sont :

Une 2-forme différentielle $\omega =PdX\wedge dY+QdY\wedge dZ+RdZ\wedge dX$ , définie sur un ouvert $\mathcal{U}\subset \mathbb{R}^{3}$ ,

Une nappe $\Sigma$ , paramétrée par une fonction , définie sur un ouvert $\mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}$ , telle que $F\left( \mathcal{V}\right) \subset \mathcal{U}$ , notée

$F(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k\text{, }$

on suppose que

est injective, et qu’en tout point, $\left( \partial_{u}F,\partial _{v}F\right)$ est un couple libre de vecteurs de l’espace (base naturelle du plan tangent), autrement dit, que la nappe est simple et régulière.

La 2-forme différentielle sur l’ouvert $\mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}$ , transposée de $\omega$ par est $F^{\ast }\omega =A dU \wedge dV=A\;\det_{can}$ , la fonction ayant été obtenue dans l’article 2-formes différentielles .

Rappelons la formule :

$A=\left( P\circ F\right) \left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right\vert +\left( Q\circ F\right) \left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{array} \right\vert +\left( R\circ F\right) \left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \end{array} \right\vert \text{.}$

définition Définition 1

La définition de l’intégrale d’une 2-forme se fait alors en deux étapes :

1) Pour une 2-forme $\eta$ sur un ouvert $\mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}$ , $\eta$ s’écrit $\eta (u,v)=f(u,v)\ dU\wedge dV$ , où est une fonction $C^{1}$ sur $\mathcal{V}$ . Si cette fonction est intégrable (pour la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^{2}$ ), on pose

$\int_{\mathcal{V}}\eta =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}f(u,v)dudv\text{.}$

2) Dans le cas d’une 2-forme $\omega$ définie sur un ouvert de l’espace contenant une nappe $\Sigma$ , comme ci-dessus, on se ramène au cas précédent par transposition, en posant

$\int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega \text{.}$

Au total, le calcul pratique de $\int_{\Sigma }\omega$ se fait en deux temps : exprimer la fonction , puis intégrer lorsque la fonction est intégrable sur $\mathcal{V}$ .

$\boxed { \int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv\text{.} }$

Que se passe-t-il si l’on change la paramétrisation de $\Sigma$ ?

La réponse est donnée par la propriété suivante.

Proposition 1

Si $\left( \mathcal{V},F\right)$ et $\left( \mathcal{W},G\right)$ sont deux paramétrisations de $\Sigma$ (donc $\Sigma =F\left( \mathcal{V}\right) =G\left( \mathcal{W}\right)$ ), si le changement de paramètre $G^{-1}\circ F$ est un difféomorphisme $\Phi$ de sur dont le déterminant est en tout point (on dit que ce changement de paramètre préserve l’orientation), alors $\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{W}}G^{\ast }\omega$ .

La démonstration est une simple application des propriétés de la transposition (Propositions 1 et 3) vues dans l’article 2,3-formes différentielles en dimension 2,3 (I) .

En effet, d’une part

$\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{V}}\left( G\circ \Phi \right) ^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{V}}\Phi ^{\ast }\circ \left( G^{\ast }\omega \right)$

d’autre part, la relation $\int_{\mathcal{V}}\Phi ^{\ast }\circ \left(G^{\ast }\omega \right) =\int_{\mathcal{W}}G^{\ast }\omega$ n’est autre que le théorème de changement de variables dans les intégrales doubles, compte tenu de l’expression de la transposition par un difféomorphisme, en coordonnées.

Exemple

Calculer $\int_{\Sigma }\omega$ dans $\mathcal{V}=\left] -1,1\right[^{2}$ , pour $F(u,v)=\left( u+v,u^{2}+v^{2},u-v\right)$ , $\omega =dX\wedge dY+dZ\wedge dX$ .

SOLUTION

1) Calculons , ici , et

$\begin{eqnarray*} A &=&\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right\vert +\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \end{array} \right\vert \\ &=&\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial u+v}{\partial u} & \frac{\partial u+v}{\partial v} \\ \frac{\partial u^{2}+v^{2}}{\partial u} & \frac{\partial u^{2}+v^{2}}{ \partial v} \end{array} \right\vert +\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial u-v}{\partial u} & \frac{\partial u-v}{\partial v} \\ \frac{\partial u+v}{\partial u} & \frac{\partial u+v}{\partial v} \end{array} \right\vert \\ &=&\left\vert \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2u & 2v \end{array} \right\vert +\left\vert \begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right\vert \\ &=&2(v-u+1) \end{eqnarray*}$

2) D’autre part,

$\begin{eqnarray*} \int_{\Sigma }\omega &=&\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega \\ &=& \int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv \\ &=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V=}\left] -1,1\right[ ^{2}}(v-u+1)dudv \\ &=&2\int\limits_{-1}^{1}[\frac{v^2}{2}-uv+v]_{-1}^{1}du \\ &=&2\int\limits_{-1}^{1}(-2u+2)du \\ &=&4[-\frac{u^2}{2}+u]_{-1}^{1} \\ &=&4(1+1) \\ &=&8\text{.} \end{eqnarray*}$

L’intégrale d’une 2-forme $\omega$ le long d’une nappe peut facilement s’exprimer à l’aide du champ de vecteurs associé à $\omega$ (Champs de vecteurs et 2-formes ). Il suffit de regarder comme un déterminant. En effet, si l’on pose , il apparaît que

$A(u,v)=\left\langle X\left( F\left( u,v\right) )\right) ,\partial _{u}F(u,v)\times \partial _{v}F(u,v)\right\rangle$

soit $A=\det_{can}\left( X\circ F,\partial _{u}F,\partial _{v}F\right) \text{.}$

En notant $N\left( F(u,v)\right) =$ $\partial _{u}F(u,v)\times \partial_{v}F(u,v)$ le vecteur normal à $\Sigma$ en chaque point, on obtient

propriété Proposition 2

Avec les données précédentes,

$\boxed { \int_{\Sigma }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}\left\langle X,N\right\rangle \circ F(u,v)\ dudv\text{.} }$

définition Définition 2

Cette expression est appelée le flux du champ à travers $\Sigma$ .

La notion de flux est étudiée de manière plus approfondie dans le concept Mesure surfacique et Flux .

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