Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction)

Description : Intégration le long d’une nappe, d’une 2-forme définie sur un ouvert de Rn, ou le long de la nappe.

Intention pédagogique : Rassembler les définitions et propriétés de base concernant l’intégration d’une 2-forme.

Niveau : L2
Temps d'apprentissage conseillé : 1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

introduction L’article 2,3-formes différentielles (I) est supposé connu.

En physique, on est plus intéressé par l’intégration d’un champ de vecteurs le long d’une nappe Flux vectoriel à travers l’enveloppe d’un cube. En fait, ce sont les formes que l’on intègre, il convient d’y revenir pour démontrer les propriétés, bien que chacune puisse être énoncée en termes de champs de vecteurs.

Les données sont :

Une 2-forme différentielle $\omega =PdX\wedge dY+QdY\wedge dZ+RdZ\wedge dX$ , définie sur un ouvert $\mathcal{U}\subset \mathbb{R}^{3}$ ,

Une nappe $\Sigma$ , paramétrée par une fonction , définie sur un ouvert $\mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}$ , telle que $F\left( \mathcal{V}\right) \subset \mathcal{U}$ , notée

$F(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k\text{, }$

on suppose que

est injective, et qu’en tout point, $\left( \partial_{u}F,\partial _{v}F\right)$ est un couple libre de vecteurs de l’espace (base naturelle du plan tangent), autrement dit, que la nappe est simple et régulière.

La 2-forme différentielle sur l’ouvert $\mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}$ , transposée de $\omega$ par est $F^{\ast }\omega =A dU \wedge dV=A\;\det_{can}$ , la fonction ayant été obtenue dans l’article 2-formes différentielles.

Rappelons la formule :

$A=\left( P\circ F\right) \left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right\vert +\left( Q\circ F\right) \left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{array} \right\vert +\left( R\circ F\right) \left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \end{array} \right\vert \text{.}$

définition Définition 1

La définition de l’intégrale d’une 2-forme se fait alors en deux étapes :

1) Pour une 2-forme $\eta$ sur un ouvert $\mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}$ , $\eta$ s’écrit $\eta (u,v)=f(u,v)\ dU\wedge dV$ , où est une fonction $C^{1}$ sur $\mathcal{V}$ . Si cette fonction est intégrable (pour la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^{2}$ ), on pose

$\int_{\mathcal{V}}\eta =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}f(u,v)dudv\text{.}$

2) Dans le cas d’une 2-forme $\omega$ définie sur un ouvert de l’espace contenant une nappe $\Sigma$ , comme ci-dessus, on se ramène au cas précédent par transposition, en posant

$\int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega \text{.}$

Au total, le calcul pratique de $\int_{\Sigma }\omega$ se fait en deux temps : exprimer la fonction , puis intégrer lorsque la fonction est intégrable sur $\mathcal{V}$ .

$\boxed { \int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv\text{.} }$

Que se passe-t-il si l’on change la paramétrisation de $\Sigma$ ?

La réponse est donnée par la propriété suivante.

Proposition 1

Si $\left( \mathcal{V},F\right)$ et $\left( \mathcal{W},G\right)$ sont deux paramétrisations de $\Sigma$ (donc $\Sigma =F\left( \mathcal{V}\right) =G\left( \mathcal{W}\right)$ ), si le changement de paramètre $G^{-1}\circ F$ est un difféomorphisme $\Phi$ de sur dont le déterminant est en tout point (on dit que ce changement de paramètre préserve l’orientation), alors $\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{W}}G^{\ast }\omega$ .

La démonstration est une simple application des propriétés de la transposition (Propositions 1 et 3) vues dans l’article 2,3-formes différentielles en dimension 2,3 (I).

En effet, d’une part

$\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{V}}\left( G\circ \Phi \right) ^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{V}}\Phi ^{\ast }\circ \left( G^{\ast }\omega \right)$

d’autre part, la relation $\int_{\mathcal{V}}\Phi ^{\ast }\circ \left(G^{\ast }\omega \right) =\int_{\mathcal{W}}G^{\ast }\omega$ n’est autre que le théorème de changement de variables dans les intégrales doubles, compte tenu de l’expression de la transposition par un difféomorphisme, en coordonnées.

Exemple

Calculer $\int_{\Sigma }\omega$ dans $\mathcal{V}=\left] -1,1\right[^{2}$ , pour $F(u,v)=\left( u+v,u^{2}+v^{2},u-v\right)$ , $\omega =dX\wedge dY+dZ\wedge dX$ .

SOLUTION

1) Calculons , ici , et

$\begin{eqnarray*} A &=&\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right\vert +\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \end{array} \right\vert \\ &=&\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial u+v}{\partial u} & \frac{\partial u+v}{\partial v} \\ \frac{\partial u^{2}+v^{2}}{\partial u} & \frac{\partial u^{2}+v^{2}}{ \partial v} \end{array} \right\vert +\left\vert \begin{array}{ll} \frac{\partial u-v}{\partial u} & \frac{\partial u-v}{\partial v} \\ \frac{\partial u+v}{\partial u} & \frac{\partial u+v}{\partial v} \end{array} \right\vert \\ &=&\left\vert \begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2u & 2v \end{array} \right\vert +\left\vert \begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right\vert \\ &=&2(v-u+1) \end{eqnarray*}$

2) D’autre part,

$\begin{eqnarray*} \int_{\Sigma }\omega &=&\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega \\ &=& \int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv \\ &=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V=}\left] -1,1\right[ ^{2}}(v-u+1)dudv \\ &=&2\int\limits_{-1}^{1}[\frac{v^2}{2}-uv+v]_{-1}^{1}du \\ &=&2\int\limits_{-1}^{1}(-2u+2)du \\ &=&4[-\frac{u^2}{2}+u]_{-1}^{1} \\ &=&4(1+1) \\ &=&8\text{.} \end{eqnarray*}$

L’intégrale d’une 2-forme $\omega$ le long d’une nappe peut facilement s’exprimer à l’aide du champ de vecteurs associé à $\omega$ (Champs de vecteurs et 2-formes). Il suffit de regarder comme un déterminant. En effet, si l’on pose , il apparaît que

$A(u,v)=\left\langle X\left( F\left( u,v\right) )\right) ,\partial _{u}F(u,v)\times \partial _{v}F(u,v)\right\rangle$

soit $A=\det_{can}\left( X\circ F,\partial _{u}F,\partial _{v}F\right) \text{.}$

En notant $N\left( F(u,v)\right) =$ $\partial _{u}F(u,v)\times \partial_{v}F(u,v)$ le vecteur normal à $\Sigma$ en chaque point, on obtient

propriété Proposition 2

Avec les données précédentes,

$\boxed { \int_{\Sigma }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}\left\langle X,N\right\rangle \circ F(u,v)\ dudv\text{.} }$

définition Définition 2

Cette expression est appelée le flux du champ à travers $\Sigma$ .

La notion de flux est étudiée de manière plus approfondie dans le concept Mesure surfacique et Flux.

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