Intégration le long d’une nappe, d’une 2-forme définie sur un ouvert de Rn, ou le long de la nappe.
Rassembler les définitions et propriétés de base concernant l’intégration d’une 2-forme.
1 h
Auteur(s) : Pierre AIME .
En physique, on est plus intéressé par l’intégration d’un champ de vecteurs le long d’une nappe Flux vectoriel à travers l’enveloppe d’un cube. En fait, ce sont les formes que l’on intègre, il convient d’y revenir pour démontrer les propriétés, bien que chacune puisse être énoncée en termes de champs de vecteurs.
Les données sont :
Une 2-forme différentielle
, définie sur un ouvert
,
Une nappe
, paramétrée par une fonction
, définie sur un ouvert
, telle que
, notée
La 2-forme différentielle sur l’ouvert , transposée de
par
est
, la fonction
ayant été obtenue dans l’article 2-formes différentielles.
Rappelons la formule :
La définition de l’intégrale d’une 2-forme se fait alors en deux étapes :
1) Pour une 2-forme sur un ouvert
,
s’écrit
, où
est une fonction
sur
. Si cette fonction est intégrable (pour la mesure de Lebesgue de
), on pose
2) Dans le cas d’une 2-forme définie sur un ouvert de l’espace contenant une nappe
, comme ci-dessus, on se ramène au cas précédent par transposition, en posant
Au total, le calcul pratique de se fait en deux temps : exprimer la fonction
, puis intégrer
lorsque la fonction
est intégrable sur
.
Que se passe-t-il si l’on change la paramétrisation de ?
La réponse est donnée par la propriété suivante.
Proposition 1
Si et
sont deux paramétrisations de
(donc
), si le changement de paramètre
est
un difféomorphisme
de
sur
dont le déterminant est
en tout point (on dit que ce changement de paramètre préserve l’orientation), alors
.
La démonstration est une simple application des propriétés de la transposition (Propositions 1 et 3) vues dans l’article 2,3-formes différentielles en dimension 2,3 (I).
En effet, d’une part
Exemple
Calculer dans
, pour
,
.
SOLUTION
1) Calculons , ici
,
et
2) D’autre part,
L’intégrale d’une 2-forme le long d’une nappe peut facilement s’exprimer à l’aide du champ de vecteurs
associé à
(Champs de vecteurs et 2-formes). Il suffit de regarder
comme un déterminant. En effet, si l’on pose
, il apparaît que
En notant
le vecteur normal à
en chaque point, on obtient
Avec les données précédentes,
Cette expression est appelée le flux du champ à travers
.
La notion de flux est étudiée de manière plus approfondie dans le concept Mesure surfacique et Flux.