Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction) - epiphys

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Intégration des 2-formes différentielles, flux (introduction)

Description : Intégration le long d’une nappe, d’une 2-forme définie sur un ouvert de Rn, ou le long de la nappe.
Intention pédagogique : Rassembler les définitions et propriétés de base concernant l’intégration d’une 2-forme.
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé : 1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction L’article 2,3-formes différentielles (I) est supposé connu.

En physique, on est plus intéressé par l’intégration d’un champ de vecteurs le long d’une nappe Flux vectoriel à travers l’enveloppe d’un cube . En fait, ce sont les formes que l’on intègre, il convient d’y revenir pour démontrer les propriétés, bien que chacune puisse être énoncée en termes de champs de vecteurs.


Les données sont :

- Une 2-forme différentielle \omega =PdX\wedge dY+QdY\wedge dZ+RdZ\wedge dX, définie sur un ouvert \mathcal{U}\subset \mathbb{R}^{3},

- Une nappe \Sigma , paramétrée par une fonction F, définie sur un ouvert \mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2}, telle que F\left( \mathcal{V}\right) \subset \mathcal{U}, notée


F(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k\text{, }

on suppose que F est injective, et qu’en tout point, \left( \partial_{u}F,\partial _{v}F\right) est un couple libre de vecteurs de l’espace (base naturelle du plan tangent), autrement dit, que la nappe est simple et régulière.

La 2-forme différentielle sur l’ouvert \mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2} , transposée de \omega par F est F^{\ast }\omega =A dU \wedge dV=A\;\det_{can}, la fonction A(u,v) ayant été obtenue dans l’article 2-formes différentielles .

Rappelons la formule :


A=\left( P\circ F\right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ 
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}
\right\vert +\left( Q\circ F\right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ 
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}
\end{array}
\right\vert +\left( R\circ F\right) \left\vert
\begin{array}{ll}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ 
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}
\end{array}
\right\vert \text{.}

définition Définition 1

La définition de l’intégrale d’une 2-forme se fait alors en deux étapes :

1) Pour une 2-forme \eta sur un ouvert \mathcal{V}\subset \mathbb{R}^{2} , \eta s’écrit \eta (u,v)=f(u,v)\ dU\wedge dV, où f est une fonction C^{1} sur \mathcal{V}. Si cette fonction est intégrable (pour la mesure de Lebesgue de \mathbb{R}^{2}), on pose


\int_{\mathcal{V}}\eta =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}f(u,v)dudv\text{.}

2) Dans le cas d’une 2-forme \omega définie sur un ouvert de l’espace contenant une nappe \Sigma , comme ci-dessus, on se ramène au cas précédent par transposition, en posant


\int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega \text{.}

Au total, le calcul pratique de \int_{\Sigma }\omega se fait en deux temps : exprimer la fonction A, puis intégrer A lorsque la fonction  A est intégrable sur \mathcal{V}.

 \boxed {
\int_{\Sigma }\omega =\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv\text{.} }

Que se passe-t-il si l’on change la paramétrisation de \Sigma  ?

La réponse est donnée par la propriété suivante.

Proposition 1

Si \left( \mathcal{V},F\right) et \left( \mathcal{W},G\right) sont deux paramétrisations de \Sigma (donc \Sigma =F\left( \mathcal{V}\right) =G\left( \mathcal{W}\right) ), si le changement de paramètre G^{-1}\circ F est un difféomorphisme \Phi de V sur Wdont le déterminant est >0 en tout point (on dit que ce changement de paramètre préserve l’orientation), alors \int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{W}}G^{\ast }\omega .

La démonstration est une simple application des propriétés de la transposition (Propositions 1 et 3) vues dans l’article 2,3-formes différentielles en dimension 2,3 (I) .

En effet, d’une part


\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{V}}\left( G\circ \Phi \right) ^{\ast }\omega =\int_{\mathcal{V}}\Phi ^{\ast }\circ \left( G^{\ast }\omega \right)

d’autre part, la relation \int_{\mathcal{V}}\Phi ^{\ast }\circ \left(G^{\ast }\omega \right) =\int_{\mathcal{W}}G^{\ast }\omega n’est autre que le théorème de changement de variables dans les intégrales doubles, compte tenu de l’expression de la transposition par un difféomorphisme, en coordonnées.

Exemple

Calculer \int_{\Sigma }\omega dans \mathcal{V}=\left] -1,1\right[^{2}, pour F(u,v)=\left( u+v,u^{2}+v^{2},u-v\right) , \omega =dX\wedge dY+dZ\wedge dX.

SOLUTION

1) Calculons A(u,v), ici P=1, Q=0et R=1

\begin{eqnarray*}
A &=&\left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ 
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}{ll}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ 
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}
\end{array}
\right\vert \\
&=&\left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u+v}{\partial u} & \frac{\partial u+v}{\partial v} \\ 
\frac{\partial u^{2}+v^{2}}{\partial u} & \frac{\partial u^{2}+v^{2}}{
\partial v}
\end{array}
\right\vert +\left\vert
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u-v}{\partial u} & \frac{\partial u-v}{\partial v} \\ 
\frac{\partial u+v}{\partial u} & \frac{\partial u+v}{\partial v}
\end{array}
\right\vert \\
&=&\left\vert 
\begin{array}{ll}
1 & 1 \\ 
2u & 2v
\end{array}
\right\vert +\left\vert 
\begin{array}{ll}
1 & -1 \\ 
1 & 1
\end{array}
\right\vert \\
&=&2(v-u+1)
\end{eqnarray*}

2) D’autre part,

\begin{eqnarray*}
\int_{\Sigma }\omega &=&\int_{\mathcal{V}}F^{\ast }\omega \\
&=& \int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}A(u,v)dudv \\
&=&2\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V=}\left] -1,1\right[ ^{2}}(v-u+1)dudv \\
&=&2\int\limits_{-1}^{1}[\frac{v^2}{2}-uv+v]_{-1}^{1}du \\
&=&2\int\limits_{-1}^{1}(-2u+2)du \\
&=&4[-\frac{u^2}{2}+u]_{-1}^{1} \\
&=&4(1+1) \\
&=&8\text{.}
\end{eqnarray*}

L’intégrale d’une 2-forme \omega le long d’une nappe peut facilement s’exprimer à l’aide du champ de vecteurs X associé à \omega (Champs de vecteurs et 2-formes ). Il suffit de regarder A comme un déterminant. En effet, si l’on pose X=(P,Q,R), il apparaît que


A(u,v)=\left\langle X\left( F\left( u,v\right) )\right) ,\partial
_{u}F(u,v)\times \partial _{v}F(u,v)\right\rangle

soit 
A=\det_{can}\left( X\circ F,\partial _{u}F,\partial _{v}F\right) \text{.}

En notant N\left( F(u,v)\right) = \partial _{u}F(u,v)\times \partial_{v}F(u,v) le vecteur normal à \Sigma en chaque point, on obtient

propriété Proposition 2

Avec les données précédentes,

 \boxed {
\int_{\Sigma }\omega =\int\!\!\!\int\limits_{\mathcal{V}}\left\langle
X,N\right\rangle \circ F(u,v)\ dudv\text{.} }

définition Définition 2

Cette expression est appelée le flux du champ X à travers \Sigma .

La notion de flux est étudiée de manière plus approfondie dans le concept Mesure surfacique et Flux .