2,3-Formes différentielles en dimension 2,3 (I) - epiphys

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2,3-Formes différentielles en dimension 2,3 (I)

Description :

Définition et expression des 2 et 3-Formes différentielles en dimension 2, 3. Opération de transposition.

Intention pédagogique :

Donner les connaissances de base en calcul extérieur pour l’analyse vectorielle en dimension 2,3.


Niveau :

Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Les aspects algébriques formes bilinéaires antisymétriques sont supposés connus. Une pratique du calcul sur ce type de formes, que l’on trouve dans Formes bilinéaires et endomorphismes antisymétriques facilite la compréhension de cet article.

On s’intéresse ici aux champs de formes multilinéaires antisymétriques mais on se limitera au cas des espaces vectoriels de dimension 2 ou 3.


situation-problématique
  • Rappelons que l’espace vectoriel des formes bilinéaires antisymétriques (ou alternées) sur un espace vectoriel E de dimension n, noté \Lambda ^2 (E^*) est nul si n=1, et de dimension 1 si n=2, de dimension 3 si n=3.

Pour n=2,les exemples standards sont fournis par les formes déterminants relatifs à une base \mbox {det}_{(i,j)}, deux formes bilinéaires antisymétriques sur un plan sont proportionnelles.

  • Rappelons aussi que l’espace vectoriel des formes trilinéaires antisymétriques (ou alternées) sur un espace vectoriel E de dimension n noté \Lambda ^3 (E^*) est nul si n=1,2 et de dimension 1 si n=3.

Pour n=3,les exemples standards sont fournis par les formes déterminants relatifs à une base \mbox {det}_{(i,j,k)}, deux formes trilinéaires antisymétriques sur un tel espace sont proportionnelles.

définition Définition 1

Une forme différentielle de degré deux, ou 2-forme différentielle, sur un espace vectoriel E de dimension finie est une application  \omega  définie sur un ouvert   \mathcal{U} \subset  E, qui associe à chaque point m \in    \mathcal{U} une forme bilinéaire antisymétrique sur E notée  \omega  \left( m\right), ou \omega _m.

Cette application m \mapsto \omega (m) de  \mathcal{U} dans \Lambda ^2 (E^*) est supposée de classe C^1.

Il s’agit donc d’un champ de formes bilinéaires antisymétriques.

- En dimension 2, relativement à une base donnée  \left ( i,j \right ) , on peut ainsi écrire

  \omega  \left( m\right) =A\left( m\right) dx \wedge  dy

A est une fonction scalaire C^{1} sur   \mathcal{U}.

- En dimension 3, relativement à une base donnée  \left ( i,j,k \right ) , on écrit


 \omega  \left( m\right) =P\left( m\right) dx \wedge  dy+Q\left( m\right) dy \wedge  dz+R\left( m\right) dz \wedge  dx.

P, Q, R sont des fonctions scalaires C^{1} sur   \mathcal{U}.

définition Définition 2

Une forme différentielle de degré trois, ou 3-forme différentielle, sur un espace vectoriel E de dimension 3 est une application  \Omega  définie sur un ouvert   \mathcal{U} \subset  E, qui associe à chaque point m \in    \mathcal{U} une forme trilinéaire antisymétrique sur E notée  \Omega  \left( m\right), ou \Omega _m.

Cette application m \mapsto \Omega (m) de  \mathcal{U} dans \Lambda ^3 (E^*) est supposée de classe C^1.

Les 3-formes différentielles en dimension 3 s’écrivent donc

\Omega (m) = A(m)  \mbox {det}_{(i,j,k)}=A \left( m\right) dx \wedge  dy \wedge  dz,

(i,j,k) est une base de E, et A est une fonction scalaire C^{1} sur   \mathcal{U}.

Dans les conditions des définitions précédentes, l’ensemble des p-formes différentielles sur   \mathcal{U} est un espace vectoriel, noté \Omega ^p (  \mathcal{U}).

En fait, il est naturel d’étendre le produit externe, en multipliant les formes non seulement par des scalaires, mais aussi par des champs scalaires, en posant (f\omega)(m)=f(m) \;\omega (m). Mais l’ensemble des champs scalaires C^1 sur   \mathcal{U} est un anneau (commutatif) et non un corps, donc pour cette opération, \Omega ^p (  \mathcal{U}) est un module et non un espace vectoriel.

Une première opération sur les p-formes est la transposition, qui est une notion essentielle pour l’intégration.

Il s’agit d’une notion technique, que l’on a intérêt à aborder par analogie avec la transposition des 1-formes 1-Formes différentielles.

discussion
énoncé

Exercice préliminaire

  1. Si m=xi+yj+zk, exprimer  \omega  \left( m\right) \left( U,V\right) pour

     \omega  \left( m\right) =zdX \wedge  dY+xdY \wedge  dZ+ydZ \wedge  dX

    (dans cet exemple,   \mathcal{U}=E) et  \left ( U,V \right )  \in  E \times  E, en fonction des coordonnées de U,V dans la base, que l’on notera  \left (X^{i} \right ) ,  \left ( Y^{j} \right ) .
    - Il est commode de noter en minuscules les coordonnées du point où la 2-forme linéaire s’exprime, et en majuscules les coordonnées des vecteurs auxquels cette 2-forme linéaire s’applique.
  2. On envisage la nappe paramétrée définie par

    
 F  \left(  \theta  , \varphi  \right) = \cos   \theta   \cos   \varphi   \,  i+ \sin   \theta   \cos 
 \varphi   \,  j+ \sin   \varphi   \,  k \textrm{,            }\left(  \theta  , \varphi  \right)  \in   \left ]
0,2 \pi   \right [  \times   \left ] 0, \pi   \right [  \textrm{.}

    Le support  F  \left (  \left ] 0,2 \pi   \right [  \times   \left ] 0, \pi   \right [ \right ) de la nappe est noté  \Sigma  . On rappelle qu’en chaque point m=F  \left(  \theta  , \varphi  \right) , les vecteurs  \left ( e_{ \theta  }={{\frac{ \partial  F }{ \partial   \theta  }}},e_{ \varphi  }={{\frac{ \partial  F }{ \partial   \varphi  }}} \right ) forment une base du plan tangent.
    - Reconnaitre  \Sigma  à l’aide d’une équation implicite.
    - Vérifier que  \Sigma  est une nappe de révolution en précisant une courbe méridienne  \gamma  dans le plan P \left ( i,k \right ) . Plus précisément, prouver que  \Sigma  est l’ensemble des transformés de  \gamma  = \Sigma   \cap  P par les rotations d’axe k d’angle  \theta   \in   \left ] 0,2 \pi   \right [ .
    - Pour la suite de la question, on note  \omega  est la 2-forme différentielle définie sur E par 
 \omega  \left( m\right) =x^{2}dY \wedge  dZ+y^{2}dZ \wedge  dX+z^{2}dX \wedge  dY \textrm{, o\'u } m=xi+yj+zk \textrm{.} Calculer en fonction de  \theta  et  \varphi  les réels  \omega  \left(  F\left(  \theta  , \varphi  \right) \right)  \left ( {{\frac{ \partial   F  }{ \partial   \theta  }}},{{\frac{ \partial   F }{ \partial   \varphi  }}} \right ) ,
     \omega  \left(  F \left(  \theta  , \varphi  \right) \right)  \left ( {{\frac{ \partial   \Phi  }{ \partial  \theta  }}},{{\frac{ \partial   F }{ \partial   \theta  }}} \right ) ,  \omega  \left(  F \left(  \theta  , \varphi  \right) \right)  \left ( {{\frac{ \partial  F }{ \partial   \varphi  }}},{{\frac{ \partial   F }{ \partial   \varphi  }}} \right ) .
définition

Définition 3
Plus généralement, étant donné
- Deux espaces vectoriels E et E' de dimension finie, un ouvert   \mathcal{U} \subset  E, un ouvert   \mathcal{V} \subset  E', et une application f de classe C^1 de  \mathcal{V} dans  \mathcal{U},
- une p-forme  \omega , définie sur l’ouvert   \mathcal{U} \subset  E,

on définit une p-forme différentielle sur l’ouvert   \mathcal{V} \subset  E', notée  f ^{\ast } \omega  , appelée image réciproque ou transposée de  \omega  par  f, en posant

\begin{eqnarray*}
\forall a &\in &\mathcal{V}\text{,\ }\forall \left(
U_1,...,U_p\right) \in {E'^p}\text{, } \\
(f ^{\ast }\omega) _a\left( U_1,...,U_p \right) &=&\omega _{f(a)}\left( d_{a}f(U_1),...,d_{a}f(U_p)\right) \text{.}
\end{eqnarray*}

La notation de la variable q provient du fait que les situations usuelles qui vont être détaillées concernent des paramétrisations.

Exemple des coordonnées locales.

propriété Proposition 1 Supposons que \mbox {dim}E=p, \; p=2,3, E'={{R}}^p, que f=\Phi est une paramétrisation locale de E, et que l’on transpose par \Phi une p-forme, c’est à dire une forme de degré maximal.

Alors,

 {\Phi} ^{\ast } (A dx \wedge  dy) = (A\circ \Phi) \;  \mbox {det} J \Phi \; dq^1 \wedge  dq^2

   {\Phi} ^{\ast } (A  dx \wedge  dy \wedge  dz)= (A\circ \Phi) \;  \mbox {det} J \Phi \; dq^1 \wedge  dq^2  \wedge  dq^3

Par exemple en coordonnées polaires ou sphériques :

 {\Phi} ^{\ast } (A(x,y) dx \wedge  dy) = A(r,\theta)\; r  \;  dr  \wedge  d \theta

   {\Phi} ^{\ast } (A(x,y,z)  dx \wedge  dy \wedge  dz)= A(r,\theta,\varphi )\; r^2 \sin \theta\; dr \wedge  d\theta  \wedge  d\varphi

Pour la justification de ces formules, on se reportera à l’article Calcul d’une transposition.

Un deuxième exemple concerne les paramétrisations de nappes.

propriété

Proposition 2

Etant donné
- une 2-forme  \omega  =PdY \wedge  dZ+QdZ \wedge  dX+RdX \wedge  dY, définie sur un ouvert   \mathcal{U} \subset  E, avec {\dim E=3,
- une nappe paramétrée F, définie sur un ouvert   \mathcal{V} \subset   \mathbb{R} ^{2}, telle que  F  \left (   \mathcal{V} \right )  \subset    \mathcal{U}, notée

  F\left ( u,v \right ) =x \left ( u,v \right ) i+y \left ( u,v \right ) j+z \left ( u,v \right ) k \textrm{,}

on a


F^{\ast} \omega  =A    dU \wedge  dV=A \ det_{can}

A est la fonction scalaire définie sur   \mathcal{V} par


A=
\left( P\circ F \right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ 
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}
\end{array}
\right\vert 
+
\left( Q\circ F \right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ 
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}
\end{array}\right\vert 
+
\left( R\circ F\right) \left\vert 
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ 
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{array}
\right\vert 
\text{.}

situation-problématique Comme on le voit, les calculs de transposition peuvent être assez lourds (même si l’on se limite à appliquer les formules). La proposition qui suit permet de les scinder.
discussion
propriété Proposition 3

Lorsque les opérations ont un sens, les relations suivantes sont vérifiées

  1.  (g\circ f)^* = f^* \circ g^*
  2. Si \varphi est un champ scalaire, alors f^* ( \varphi \omega )=( \varphi \circ f) f^* \omega
  3. f^* (\omega \wedge \eta)=f^* (\omega) \wedge f^* ( \eta)

On pourra admettre ces propriétés ou les démontrer en revenant à la définition.

pour aller plus loin On poursuivra cette étude avec 2,3-Formes différentielles en dimension 2,3 (II).