2-formes différentielles et champs de vecteurs (en dim. 3) - epiphys

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2-formes différentielles et champs de vecteurs (en dim. 3)

Description :

Isomorphisme champs de vecturs/2-formes différentielles, en dimension 3.

Intention pédagogique :

Décrire l’isomorphisme entre les champs de vecteurs et les 2-formes différentielles. Comprendre qu’il est dû (en dim.3), à la forme volume canonique de l’espace euclidien (le produit mixte). C’est un outil essentiel pour la définition du rotationnel.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Un ouvert \mathcal{U}\subset \mathbb{R}^{3}, étant donné, notons \mathcal{X}(\mathcal{U}) l’espace vectoriel des champs de vecteurs C^{1} sur \mathcal{U}, et \Omega ^{p}(\mathcal{U}) l’espace vectoriel des p-formes différentielles sur \mathcal{U}, p=1,2,3.

L’isomorphisme de \mathcal{X}(\mathcal{U}) sur \Omega ^{1}(\mathcal{U}), défini par X\longmapsto \alpha =\left\langle X,.\right\rangle a été étudié dans les articles Des champs de vecteurs aux 1-formes, et Des 1-formes aux champs de vecteurs.

On s’intéresse ici à un isomorphisme de \mathcal{X}(\mathcal{U}) sur \Omega ^{2}(\mathcal{U}), plus difficile à mettre en évidence sauf en dimension 3, c’est la raison pour laquelle on se limite à ce cas.


énoncé

Un champ de vecteurs X étant donné, quel est l’intérêt de lui associer une 2-forme plutôt qu’une 1-forme ? En physique, le critère est la nature des propriétés de X. Les 1-formes s’intègrent sur les courbes (Intégrale d’une 1-forme), les2-formes s’intègrent sur les surfaces (Intégrale d’une 2-forme), et selon que le champ se manifeste par des propriétés de circulation ou de flux, on envisage la 1-forme ou la 2-forme associée. L’exactitude de ces formes correspondant aux champs gradients ou rotationnels.

discussion

Dans une première étape, envisageons la relation entre les vecteurs (c.a.d. les champs uniformes) et les formes bilinéaires alternées, dont on note \bigwedge\limits^{2}\left( \mathbb{R}^{3}\right) ^{\ast } l’ensemble (qui est évidemment un espace vectoriel).

question remue-méninges Quelle est la dimension de \bigwedge\limits^{2}\left( \mathbb{R}^{3}\right) ^{\ast } ?

Passons maintenant au problème posé.

Proposition

L’application \theta de \mathbb{R}^{3} dans \bigwedge\limits^{2}\left( \mathbb{R}^{3}\right) ^{\ast } qui associe à un vecteur v la forme bilinéaire alternée \det_{can}(v,.,.) est un isomorphisme d’espaces vectoriels, qui est caractérisé par la relation suivante entre les bases :

\begin{eqnarray*}
\theta \left( e_{1}\right) &=&e^{2}\wedge e^{3}=dy\wedge dz \\
\theta \left( e_{2}\right) &=&e^{3}\wedge e^{1}=dz\wedge dx \\
\theta \left( e_{3}\right) &=&e^{1}\wedge e^{2}=dx\wedge dy\text{.}
\end{eqnarray*}

Démonstration

Compte tenu des dimensions, il suffit de vérifier que \theta est linéaire de noyau nul, ce qui est immédiat.

Si l’on note X un champ de vecteurs C^{1} sur un ouvert \mathcal{U}\subset \mathbb{R}^{3}, la proposition précédente associe en chaque point m\in \mathcal{U}, au vecteur X_{m}=P(m)e_{1}+Q(m)e_{2}+R(m)e_{3}, la forme bilinéaire alternée P(m)dy\wedge dz+Q(m)dz\wedge dx+R(m)dx\wedge dy, et donc au champ X, la 2-forme différentielle  \omega =Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy, ce qui définit un isomorphisme de \mathcal{X}(\mathcal{U}) sur \Omega ^{2}(\mathcal{U}).

La généralisation de ceci à un espace vectoriel de dimension n muni d’une forme volume, c’est à dire d’une forme n-linéaire alternée non nulle, est appelée l’opérateur de Hodge. Les physiciens l’utilisent en théorie des champs, dans le cadre relativiste.