Formes bilinéaires et endomorphismes antisymétriques - epiphys

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Formes bilinéaires et endomorphismes antisymétriques

Intention pédagogique :
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Dans cet article, E est un espace vectoriel de dimension finie n, sur le corps des réels. Fréquemment, on se limitera à n=3, ou E sera euclidien.

Quelques rappels Formes bilinéaires antisymétriques.
Sur E, une forme bilinéaire B qui vérifie l’identité


 \forall   \left ( u,v \right )  \in  E \times  E, \;B \left ( u,v \right )
=-B \left ( v,u \right )

est dite antisymétrique. Dans ce cas, il est clair que


 \forall  u \in  E, \    \   B\left( u,u\right) =0 \textrm{.}

On dit alors que la forme B est alternée.

Inversement, si B est une forme bilinéaire alternée, alors B est antisymétrique. Rappeler la démonstration.


énoncé

1- Un exemple en dimension 3

E est l’espace vectoriel  \mathbb{R} ^{3},  \left ( i,j,k \right ) la base canonique, B est la forme bilinéaire antisymétrique définie par B \left ( i,j \right ) =1, B \left ( i,k \right ) =1, B \left ( j,k \right )=-1 .
Pour un sous espace vectoriel F de E, on note F^{ \perp  } le sous espace des vecteurs u \in  E, tels que B \left ( u,v \right ) =0 quel que soit v \in F .
- Donner l’expression de B \left ( u,v \right ) pour deux vecteurs quelconques  \left ( u,v \right ) de E, en fonction de leurs coordonnées dans la base canonique. On prendra u=xi+yj+zk, v=x^{ ' }i+y^{ '  }j+z^{ '  }k.
- Démontrer par deux méthodes différentes que le vecteur e=i+j-k appartient à E^{ \perp  }.
- Démontrer que E^{ \perp  } est la droite vectorielle de base e.
- Comment s’écrit B \left ( u,v \right ) si l’on exprime les vecteurs u,v dans la base  \left ( i,j,e \right )  ? On prendra u=Xi+Yj+Ze, v=X^{ '  }i+Y^{ '  }j+Z^{ '  }e.
- Notons P le plan vectoriel de base  \left ( i,j \right ) . Démontrer que P \cap  P^{ \perp  }= \left  \{  0 \right  \}  . En déduire que E^{ \perp }=P^{ \perp  }.

énoncé

2- Une décomposition en dimension 3

On suppose dans cette section que E est de dimension 3, et  \left (i,j,k \right ) une base de E. On rappelle que les formes coordonnées sont les formes linéaires sur E notées dx, dy, dz et définies par
dx\left( V\right) =x, dy\left( V\right) =y, dz\left( V\right) =z si V=xi+yj+zk.
On appelle produit extérieur des formes dx et dy la forme bilinéaire antisymétrique sur E, notée dx \wedge  dy, définie par

\begin{eqnarray*}
\forall \left( U,V\right) &\in &E\times E\;\; \\
\left( dx\wedge dy\right) \left( U,V\right) &=&dx(U)dy(V)-dx(V)dy(U) \\
&=&xy^{\prime }-yx^{\prime }
\end{eqnarray*}



De manière analogue, on a les formes bilinéaires antisymétriques
dy \wedge  dz et dz \wedge  dx.
En outre, on pose dx \wedge  dx=dy \wedge  dy=dz \wedge  dz=0. Donner l’expression de  \left ( dy \wedge  dz \right )  \left ( U,V \right ) et  \left (dz \wedge  dx \right )  \left ( U,V \right ) . On constatera qu’il est commode d’écrire le résultat en termes de déterminants 2x2.
Démontrer que toute forme bilinéaire antisymétrique sur E, peut s’écrire sous la forme

B=a    dx \wedge  dy+b    dy \wedge  dz+c    dz \wedge  dx \textrm{,}

a,b,c sont des réels que l’on déterminera en fonction des images des couples de vecteurs de base.

énoncé

3- Endomorphismes antisymétriques

E est un espace vectoriel euclidien (de dimension n>0\right) , le produit scalaire est noté  \left  \langle  u,v \right  \rangle  , dans cette section, l’orthogonalité est relative à ce produit scalaire.
Une matrice antisymétrique A peut être vue soit comme la matrice d’un endomorphisme L dans une base orthonormale   \mathcal{B} de E, soit comme la matrice d’une forme bilinéaire antisymétrique B dans   \mathcal{B}.
Rappelons que si l’on identifie les vecteurs de E à la matrice colonne de leurs coordonnées dans   \mathcal{B}, on a

\begin{eqnarray*}
L(v) &=&Av \\
B(u,v) &=&\ ^{t}u\ A\ v=\left\langle u,L(v)\right\rangle \text{.}
\end{eqnarray*}



Ainsi, B définit L, et L définit B, de telle sorte que L et B aient même matrice dans une base orthonormale quelconque.

Démontrer que pour un endomorphisme L de E, les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
(1)  \forall   \left ( u,v \right )  \in  E \times  E \left \langle u,L\left( v\right)  \right  \rangle  =- \left  \langle  L\left( u\right) ,v \right  \rangle
(2)  \forall  u \in  E \left  \langle  u,L\left( u\right)  \right  \rangle  =0
(3) La matrice A de L dans toute base orthonormée est antisymétrique (autrement dit, ^{t}A=-A).
Dans ces conditions, on dit que L est un endomorphisme antisymétrique.
Quelles sont les valeurs propres possibles d’un endomorphisme antisymétrique ?
Si F est un sous espace vectoriel de E, stable par un endomorphisme antisymétrique L (L\left( F\right)  \subset  F), démontrer que le supplémentaire orthogonal F^{ \perp  } est stable par L.