Une courbe fractale - epiphys

Global Local Liste Concept

Une courbe fractale

Description :

Longueur d’une courbe de Koch

Intention pédagogique :

Découvrir un résultat paradoxal sur la longueur.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Un arc continu borné est-il toujours de longueur finie ?

situation-problématique Les courbes sont ainsi définies par étapes :
- Etape 0 : un segment de longueur 1.
- Etape 1 : On remplace les points d’abscisse comprise entre 1/3 et 2/3 par la réunion de deux segments de manière à former un triangle équilatéral. On a 4 segments de longueur 1/3, la longueur totale devient 4/3.
- Etapes 2 à 6 :

Comment évolue la longueur totale ?

discussion D’une étape à la suivante, la longueur de chaque segment est multipliée par \frac {1}{3}, et le nombre de segments est multiplié par 4, la longueur est ainsi multipliée par 4/3. La longueur totale à l’étape n est (\frac {4}{3})^n, la limite est infinie bien que les courbes restent bornées et continues.

On ne prouve pas ici la continuité ni même l’existence de la courbe limite.