1-formes différentielles sur un arc, élément de longueur, forme dl - epiphys

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1-formes différentielles sur un arc, élément de longueur, forme dl

Description :

Elément de longueur dl et 1-formes sur un arc, intégration de ces formes.

Intention pédagogique :

Donner une définition précise de la longueur d’un arc, de la notation dl, établir la relation avec la limite des sommes de longueurs de segments inscrits.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction On traite ici l’extension de la notion de circulation Circulation aux 1-formes qui ne sont définies que sur un arc, c’est à dire
- en les points de cet arc et
- couplées seulement avec les vecteurs tangents à l’arc,
à partir du cas particulier de l’élément de longueur.
Le problème à traiter a été posé dans l’article dl.

situation-problématique Commençons par le cas particulier de l’élément de longueur.
discussion Les données sont :
- Un arc C^1 régulier orienté de {{R}}^n, (I,\gamma), de support \Gamma =\gamma (I). Rappelons que régulier signifie que le vecteur dérivé \gamma ' ne s’annule pas.
- m=\gamma (t) un point de \Gamma,
- La droite affine m+T_{m} \Gamma est la tangente en m à \Gamma.

Sur la droite vectorielle T_{m}\Gamma, il existe un vecteur unitaire unique dans le sens de parcours, défini par T_{m}=\frac {\gamma '(t)}{\| \gamma '(t)\|}.
Tout vecteur tangent v \in T_{m}\Gamma s’écrit donc v=\overline v  \,T_{m}. Le réel \overline v est la "mesure algébrique" du vecteur v, et \|v\|=|\overline v|.
En chaque point m de l’arc, on définit ainsi une forme linéaire, notée \lambda_m^{\Gamma}, sur la droite T_{m}\Gamma, en posant

\lambda_m^{\Gamma}(v) = \overline v.

définition Définition 1

Le champ de formes linéaires m \mapsto \lambda_m^{\Gamma}, ainsi défini sur \Gamma , qui est en chaque point l’unique forme linéaire vérifiant la relation

\lambda_m^{\Gamma}(T_m) = 1,

est appelé élément de longueur sur \Gamma .

situation-problématique A partir de là, la longueur d’un arc peut-elle être définie par l’intégrale de l’élément de longueur ou, ce qui revient au même, la circulation du vecteur unitaire tangent ?
discussion Supposons que I est un segment. Pour définir l’intégrale de l’élément de longueur \lambda^{\Gamma} le long de l’arc, le fait de n’être définie que sur \Gamma n’empeche pas de reprendre la définition donnée dans l’article Intégration des 1-formes selon laquelle, pour une 1-forme définie sur un ouvert de l’espace contenant \Gamma, \oint_{\gamma }\alpha=\int_{[a,b]} \gamma^* \alpha.
définition Définition 2

Etant donné un arc C^1 régulier orienté de {{R}}^n, ([a,b],\gamma), de support \Gamma =\gamma (I),, défini sur un segment, l’intégrale de l’élément de longueur \lambda^{\Gamma}, définie par

\oint_{\gamma }\lambda^{\Gamma}=\int_{[a,b]} \gamma^* \lambda^{\Gamma}

est appelée longueur de l’arc.
La forme transposée \gamma^* \lambda^{\Gamma} est une 1-forme sur {{R}}, notée dl.

Précisons la formule de calcul de la longueur. La proposition qui suit donne aussi un résultat attendu : la longueur ne dépend que de la "courbe" \Gamma, et non de la paramétrisation \gamma choisie, sous réserve de régularité (il va de soit que si l’on se promène sur la courbe avec des allers et venues, le chemin parcouru n’est pas la longueur), et de respecter l’orientation (sinon, prendre la valeur absolue de l’intégrale).

propriété Proposition 1

Sous les hypothèses de la définition, la longueur ne dépend pas de la paramétrisation de l’arc, et

\oint_{\gamma }\lambda^{\Gamma}=\int_{[a,b]} dl = \int _{a}^{b} \| \gamma ' (t)\| dt.

Démonstration
D’une part, \gamma^* \lambda^{\Gamma} (t) = \lambda^{\Gamma}_{\gamma (t)} (\gamma ' (t)) dt par définition de la transposition, d’autre part \gamma ' (t) = \| \gamma ' (t) \|T_{\gamma (t)}, donc \lambda^{\Gamma}_{\gamma (t)} (\gamma ' (t)) = \| \gamma ' (t)\|.

La deuxième conclusion n’est que le théorème de changement de variables dans les intégrales.

question remue-méninges Comment s’écrit la formule de la longueur pour un arc du plan dont on connait une paramétrisation cartésienne (x,f(x) ?
notation En physique, dl désigne l’élément de longueur noté ici \lambda^{\Gamma}, dans ce qui précède, c’est la forme transposée par la paramétrisation.
- Une raison du choix qui est fait ici est la cohérence avec l’élément de surface \lambda^{\Sigma} défini dans l’article 2-formes sur une nappe, dont la 2-forme transposée est notée dS, et l’élément de volume \lambda^n dans {{R}}^n.
- Cependant, pour reconnaitre l’écriture habituelle des lois de l’électromagnétisme par exemple, dans les questions non théoriques, nous garderons la notation usuelle dl pour désigner l’élément de longueur, à la place de \lambda^{\Gamma}. Il reste à être vigilant pour savoir si l’on est sur la courbe ou sur l’intervalle qui paramètre la courbe.
- Quoi qu’il en soit, on peut cependant regretter cette notation classique, sachant que cette forme dl n’est pas exacte.
question remue-méninges Pourquoi dl n’est pas une forme exacte, qu’elle soit vue comme forme sur {{R}} ou sur \Gamma ?.
situation-problématique Pour que la longueur d’un arc corresponde à l’intuition, il reste à établir une propriété d’approximation de cette longueur par des sommes de longueurs de segments inscrits sur l’arc.
discussion
propriété Proposition 2

Soit ([a,b], \gamma) une paramétrisation d’un arc C^1, et une suite (S_n) de subdivisions de [a,b],, S_n étant une liste de n+1 points de [a,b], rangés en ordre croissant, de a à b

 S_n = (a=t^n_0 , t^n_1,...,t^n_n=b).

Si d(n) est la plus grande des longueurs des intervalles [t^n_k , t^n_{k+1}], on suppose que \lim_{n \rightarrow \infty} d(n) = 0. Alors,

\lim_{n \rightarrow \infty} (\sum_{k=0}^{n-1} \| \gamma (t^n_{k+1}) - \gamma (t^n_{k}) ) = \int_{[a,b]} dl = \int _{a}^{b} \| \gamma ' (t)\| dt.

Démonstration. Voir le fichier joint demo20.pdf

erreur fréquente Il n’est pas suffisant de supposer que l’arc est continu pour que cette propriété soit valide. On trouvera un exemple dans l’article Une courbe fractale
situation-problématique Qu’en est-il en général des 1-formes sur un arc ?
discussion Commençons par définir ce type de forme différentielle.
définition Définition 3

Une 1-forme différentielle sur un arc \Gamma, supposé C^1, est une application \alpha définie sur \Gamma, à valeurs dans la réunion disjointe des espaces duals \cup _{m \in \Gamma} \{m\} \text{x} T^* _m {\Gamma}, qui associe à chaque point m \in \Gamma une forme linéaire \alpha_m sur la droite vectorielle tangente en m à \Gamma, et qui est de classe C^1 au sens précisé ci-dessous.

Deux formes linéaires sur un espace vectoriel de dimension 1 sont nécessairement proportionnelles (l’espace dual est de dimension 1).
Si \alpha est une 1-forme sur \Gamma, il existe donc en chaque point m un réel f_m tel que \alpha_m = f_m \lambda_m^{\Gamma}, ce qui définit une fonction scalaire f sur \Gamma.
Disons que la forme \alpha est de classe C^1 sur \Gamma si la fonction composée t \mapsto f (\gamma (t)) est C^1 pour une (donc toute) paramétrisation \gamma de \Gamma.

Remarque

Le détour fait ici pour conserver à cet article un niveau élémentaire est dû à la structure de l’espace de départ (une courbe), et d’arrivée (typiquement une "structure fibrée") de \alpha.
Des références pour une étude plus précise sont donnés dans l’article Définir un champ.

situation-problématique Il reste à définir l’intégrale d’une 1-formes différentielles sur un arc.
discussion
définition Définition 4

Si \alpha =  f \lambda^{\Gamma}. est une 1-forme sur un arc orienté \Gamma, et si cet arc est paramétré par ([a,b],\gamma), posons

\oint_{\Gamma }\alpha = \int_{[a,b]} \gamma^* (f \lambda^{\Gamma}) = \int_a ^b (f\circ \gamma)(t) \| \gamma ' (t) \| dt.

notation Pour les applications, on écrira donc par abus \oint_{\Gamma }f dl, ou même \int_{\Gamma }f dl au lieu de \oint_{\Gamma }f \lambda^{\Gamma}.

L’électrostatique fournit des exemples de 1-formes différentielles sur un arc. Le champ électrostatique créé dans le vide par une densité linéique de charge q, répartie sur un fil  \Gamma  (les valeurs des charges et positions sont supposées indépendantes du temps), est modélisé en un point m de l’espace (hors de  \Gamma  ), par la formule suivante, issue de la loi de Coulomb Exemples de champs gradients.

E\left( m\right) ={{\frac{1}{4 \pi   \varepsilon  _{0}}}}\oint_{ \Gamma  }{{\frac{q\left( p\right)   \overrightarrow{pm}}{pm^{3}}}}dl\left( p\right)  \textrm{.}

 \varepsilon  _{0}=8,85     10^{-12}        Fm^{-1} est la permittivité du vide

pour aller plus loin
En fait, ce qui précède constitue la définition d’une mesure des fonctions sur \Gamma (au sens des "mesures de Radon"), et cela permet de justifier le terme de "densité linéique de charge" utilisé ci-dessus. On pourra se reporter au concept Densité.
La nécessité de prolonger la mesure apparait naturellement si l’arc \Gamma n’est plus borné. On trouvera un développement de cet aspect dans l’article dl comme mesure sur une courbe.
Une notion dérivée de la mesure dl est la mesure \overrightarrow {dl}, définie dans l’article dl flèche.