dl (une introduction) - epiphys

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dl (une introduction)

Description :

Choix du modèle de la notion de longueur

Intention pédagogique :

Motiver le choix des formes différentielles pour la mesure des longueurs


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Comment mesurer la longueur d’un arc paramétré ? Concrètement, la trajectoire d’un véhicule terrestre ou spatial, dont on connait la vitesse à chaque instant.

situation-problématique Précisons la question : Peut-on mesurer la longueur de l’arc du plan ou de l’espace paramétré par \gamma (t), avec un chronomètre ?
discussion
  • Un premièr procédé est de se déplacer à vitesse (numérique) constante. Si je marche à 1 mètre par seconde, la durée en secondes donne la distance en mètres. A 0.5 m.s., la distance est le double de la durée. A vm.s., d=v\,t.
  • Si la vitesse numérique (norme du vecteur vitesse \gamma ' (t) n’est pas constante, la vitesse instantanée donnée par le compteur est la dérivée de la distance parcourue.

Au total, la formule

 d(t)= \int_{t_0}^{t} \| \gamma ' (u)\| du

semble adéquate.

question remue-méninges Que donne cette formule pour un arc de cercle centré à l’origine, de rayon R ?
situation-problématique Supposons que la paramétrisation est régulière (\gamma ' ne s’annule pas).
  • Le rôle particulier des paramétrisations à vitesse numérique constante conduit à mettre en évidence le vecteur unitaire tangent T(t)=\frac {\gamma ' (t)}{\| \gamma ' (t)\|}.

On observe que la circulation de ce vecteur le long de l’arc (Circulation) n’est autre que la longueur. En effet, si t \in [a,b],

 Circ_{\gamma} T = \int_{a}^{b} <T(t), \gamma ' (t)> dt = \int_{a}^{b} \| \gamma ' (u)\|  dt

  • Le concept de circulation a été développé en termes de 1-formes différentielles. Pourquoi ne pas en rester à la circulation du vecteur unitaire tangent ?
discussion Une utilité des mathématiques est de révéler l’unité de concepts qui paraissent bien étrangers. Si l’on veut un modèle qui explique à la fois la longueur des arcs et l’aire des nappes, on ne voit pas comment il serait possible de généraliser l’idée du parcours avec un chronomètre...

Par contre, il est bien connu que les déterminants en dimension 2 permettent de mesurer les aires des parallélogrammes, les produits mixtes mesurent les volumes des parallélépipèdes. Ce sont des formes p-linéaires alternées dans {{R}}^p, pour p=2,3.

On est donc conduit à l’expression de la circulation en termes de 1-forme différentielle. Quelle est la 1-forme associée au champ T ?

On sait (1-formes), que cette forme \alpha est définie par la relation

 \alpha = <T,\, .\,>.

Il en résulte que, pour tout vecteur tangent à la courbe au point \gamma (t), que l’on peut écrire v=aT(t), on a  \alpha _t (v) = <T,v>=a.

La circulation de cette forme le long de l’arc, qui est l’intégrale de la 1-forme transposée sur [a,b], est la longueur de l’arc.

notation La notation dl désigne parfois cette forme, appelée "élément de longueur", pour des raisons d’homogénéité avec la mesure des surfaces, dl représentera plutôt la 1-forme transposée, c’est à dire

dl=\| \gamma ' \| dt.

pour aller plus loin En fait, ce qui précède n’est pas totalement exact. Les 1-formes dont on calcule la circulation dans le concept Circulation sont définies sur des ouverts contenant la courbe, ce qui n’est pas le cas de la forme \alpha ci-dessus, qui n’est définie qu’en les points de la courbe, et qui ne s’applique qu’à des vecteurs tangents à la courbe. En fait, il s’agit d’un nouveau type de forme différentielle, qui sera défini plus précisément dans l’article 1-formes sur un arc.