1-formes différentielles - epiphys

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1-formes différentielles

Description :

1-formes fermées (lemme de Poincaré), transposition.

Intention pédagogique :

A partir du problème de la reconnaissance des formes exactes, introduire des outils de calcul qui trouveront leur pleine utilité dans l’intégration des 1-formes.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Comme on l’a vu dans l’article Des 1-formes aux champs de vecteurs, il est équivalent de se demander si un champ de vecteurs est un gradient, ou si une 1-forme différentielle est exacte.

Une première méthode a été utilisée, elle consiste à chercher directement une primitive (un potentiel), éventuellement à repérer une non symétrie des dérivées partielles seconde pour conclure que la forme n’est pas exacte.


situation-problématique Si une 1-forme \alpha = \sum _{j=1}^{n} \alpha _  {j} dx^{j}, est exacte, elle s’écrit \alpha = df, et \alpha_{i}=\partial_{i} f. D’après le théorème de Schwarz, les coefficients doivent vérifier la propriété suivante

 \forall  a \in U, \forall (i,j), \partial_{j} \alpha_{i}(a)=\partial_{i} \alpha_{j}(a).

définition Définition

Une 1-forme \alpha \in \Omega ^1 (U) qui vérifie cette propriété est dite fermée.

Si cette propriété n’est pas vérifiée, la forme n’est donc pas exacte. Par exemple \alpha (x,y)=xy dx+(x+y) dy.

Le résultat qui suit établit une réciproque partielle, utilisable pour les formes dont les coefficients sont de classe C^2, qui constitue une deuxième méthode pour savoir si une 1-forme est exacte.

Cependant, cela ne fournit pas un potentiel.

discussion
propriété Proposition 1 (Lemme de Poincaré)

S’il existe un point a \in U tel que le segment [am] soit contenu dans U pour tout point m \in U, (on dit que U est étoilé par rapport au point a), alors toute forme différentielle fermée \alpha \in \Omega ^1 (U), est exacte.

Un ouvert convexe (en particulier une boule) est étoilé par rapport à n’importe quel de ses points. On peut donc dire que toute forme fermée sur un ouvert est "localement exacte".

Démonstration. Voir le fichier demo15.pdf.

question remue-méninges Appliquer le lemme de Poincaré aux formes \frac {xdy-ydx}{xy}, sur l’ouvert U =]0,+\infty[^2, et celui de \frac{2xydx+(1-x^2)dy}{y^2}, sur l’ouvert U = {{R}}\, \text{x} ]0,+\infty[.
question remue-méninges Peut-on appliquer le Lemme de Poincaré à la forme \alpha(x,y)=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}, sur l’ouvert U ={{R}}^2 - (0,0) ?
erreur fréquente Finalement, cet exemple montre que la propriété d’être exacte ou non, pour une forme fermée, dépend de l’ouvert considéré.
situation-problématique Il existe une troisième méthode pour savoir si une 1-forme différentielle est exacte sur un ouvert U de {{R}}^n. L’idée est de l’exprimer à l’aide d’un système de coordonnées curvilignes choisi pour que l’on puisse conclure plus facilement. Si \Phi : V \to \Phi (V) \subset U est un C^1-difféomorphisme, il s’agit d’exprimer une forme \alpha = \sum _{j=1}^{n} \alpha _  {j} dx^{j} \in \Omega ^1 (U) en fonction des coordonnées locales q (en précisant ce que cela signifie). En fait, on va définir plus généralement une préimage d’une 1-forme par une application différentiable, qui n’est pas nécessairement un difféomorphisme.
discussion

Etant donné une 1-forme \alpha \in \Omega ^1 (U) défine sur un ouvert U de {{R}}^n, et une application \varphi \in C^1 (V,U) définie sur un ouvert V de {{R}}^p, (sans relation imposée entre n et p), on associe à \alpha une forme différentielle de degré 1, notée \varphi^{*} \alpha, définie sur l’ouvert V, en posant, pour tout point q \in V, et tout vecteur h \in {{R}}^p,

(\varphi^{*} \alpha)_{q}(h)=\alpha_{\varphi(q)}(d\varphi_{q}(h)).

définition Définition

La forme \varphi^{*} \alpha est appelée transposée de \alpha par \varphi.

notation Ci-dessous, les applications différentiables quelconques sont notées \varphi, et la notation majuscule \Phi sera réservée aux difféomorphismes.

Le calcul effectif de la transposée est donné par la propriété suivante.

propriété Proposition 2

Si \alpha _x = \sum _{j=1}^{p} \alpha _  {j} (x) dx^{j}, alors

 (\varphi^{*} \alpha)_q = \sum _{i=1}^{n} ( \sum _{j=1}^{n} \alpha _  {j} (\varphi (q)) \frac {\partial x^{j}}{\partial q^{i}}(q))\;dq^{i}

Démonstration. Voir le fichier demo15.pdf.

En observant cette formule, on remarque que la matrice ligne des coordonnées de  (\varphi^{*} \alpha)_q dans la base dq^{i} s’obtient en effectuant le produit de la matrice ligne des coordonnées de \alpha par la matrice jacobienne de \varphi (dans une même colonne, on trouve les dérivées partielles par rapport à la même variable, de sorte qu’ici, i est un numéro de colonne).

Compte-tenu de la fréquence de l’utilisation des coordonnées polaires et sphériques, donnons les formules de transposition dans ces deux cas, avec les variables sans indice comme il est d’usage en dimension 2 ou 3.

  • En coordonnées polaires, \alpha _(x,y) = P(x,y)dx+Q(x,y)dy, et \Phi (r,\theta )=(r\cos \theta , r \sin \theta), on calcule donc

\left (  \begin{array}{cc} P(r,\theta )&  Q(r,\theta )\end{array} \right )  \left (  \begin{array}{cc} \cos \theta&  -r \sin \theta & \sin \theta& r \cos \theta \end{array} \right ).

ce qui donne, sur un ouvert où la composition a un sens :

(\Phi^{*} \alpha)_{(r,\theta )}

= (P(r,\theta ) \cos \theta +Q(r,\theta )  \sin \theta )dr+ r (- P(r,\theta )  \sin \theta +Q(r,\theta ) \cos \theta ) d\theta.

  • De même en coordonnées sphériques,

\alpha _(x,y,z) = P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz, et \Phi (r,\theta, \varphi )=(r\sin \theta \cos \varphi, r\sin \theta \sin \varphi, r \cos \theta), on calcule donc

\left (  \begin{array}{ccc} P &  Q& R\end{array} \right )_{(r,\theta ,\varphi )}
 \left (  \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \varphi &  r \cos \theta \cos \varphi & -r \sin \theta \sin \varphi & \sin \theta \sin \varphi &  r \cos \theta \sin \varphi & r \sin \theta \cos \varphi  & \cos \theta & -r \sin \theta & 0\end{array} \right ).

ce qui donne, sur un ouvert où la composition a un sens, l’expression de (\Phi^{*} \alpha)_{(r,\theta ,\varphi)} qu’il est plus simple de laisser sous forme matricielle.

Il reste à voir comment la transposition peut être utile pour savoir si une 1-forme est exacte.

propriété Proposition 3

Avec les hypothèses de la définition,

  1. Si f est un champ scalaire sur U, \varphi^{*} (f \alpha)=( f \circ \varphi)\varphi^{*} \alpha
  2.  (\varphi^{*} df)_q = d_q (f \circ \varphi)

  3. Si la composée a un sens,  (\psi \circ \varphi)^{*} (\alpha) =\varphi^{*} (\psi^{*} \alpha).
  4. Si \Phi est un C^1 difféomorphisme (ce qui suppose p=n), et si \beta =\Phi^{*} \alpha, alors \alpha={(\Phi^{-1})}^{*} \beta, et la 1-forme \alpha est exacte sur l’ouvert U si et seulement si la 1-forme  \Phi^{*} \alpha est exacte sur l’intersection des ouverts V et {\Phi}^{-1}(U).

Démonstration. Voir le fichier demo15.pdf.

question remue-méninges \Phi est le difféomorphisme des coordonnées polaires, sur l’ouvert V= ]0,+\infty[ \text{x} ]0,2 \pi[.

Donner l’expression des 1-formes transposées par \Phi de
- \alpha _{(x,y)} = xdx+ydy
- \beta _{(x,y)} = xdy-ydx
- \gamma(x,y)=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}

Ces formes sont-elles exactes sur leur ouvert de définition ?

question remue-méninges \Phi est le difféomorphisme des coordonnées polaires, sur l’ouvert V= ]0,+\infty[ \text{x} ]0,2 \pi[.

Donner l’expression des 1-formes transposées par \Phi de
- \alpha _{(x,y)} = xdy-ydx
- \beta _{(x,y)} = xdx+ydy+zdz
- \gamma(x,y)=\frac{xdx+ydy+zdz}{x^2+y^2+z^2}

Ces formes sont-elles exactes sur leur ouvert de définition ?

erreur fréquente Ne pas conclure qu’une forme est exacte lorsqu’elle est fermée, et si l’on applique la proposition 3, ne pas extrapoler sans preuve au delà du domaine où la proposition permet de conclure.