1-formes fermées (lemme de Poincaré), transposition.
A partir du problème de la reconnaissance des formes exactes, introduire des outils de calcul qui trouveront leur pleine utilité dans l’intégration des 1-formes.
1 h 30
Auteur(s) : Pierre AIME .
Documents joints :Une première méthode a été utilisée, elle consiste à chercher directement une primitive (un potentiel), éventuellement à repérer une non symétrie des dérivées partielles seconde pour conclure que la forme n’est pas exacte.
Une 1-forme qui vérifie cette propriété est dite fermée.
Si cette propriété n’est pas vérifiée, la forme n’est donc pas exacte. Par exemple
Le résultat qui suit établit une réciproque partielle, utilisable pour les formes dont les coefficients sont de classe qui constitue une deuxième méthode pour savoir si une 1-forme est exacte.
Cependant, cela ne fournit pas un potentiel.
S’il existe un point tel que le segment
soit contenu dans
pour tout point
(on dit que
est étoilé par rapport au point a), alors toute forme différentielle fermée
, est exacte.
Un ouvert convexe (en particulier une boule) est étoilé par rapport à n’importe quel de ses points. On peut donc dire que toute forme fermée sur un ouvert est "localement exacte".
Démonstration. Voir le fichier demo15.pdf.
Etant donné une 1-forme défine sur un ouvert
de
et une application
définie sur un ouvert
de
(sans relation imposée entre
et
), on associe à
une forme différentielle de degré 1, notée
, définie sur l’ouvert
, en posant, pour tout point
, et tout vecteur
La forme est appelée transposée de
par
.
Le calcul effectif de la transposée est donné par la propriété suivante.
Si alors
Démonstration. Voir le fichier demo15.pdf.
En observant cette formule, on remarque que la matrice ligne des coordonnées de dans la base
s’obtient en effectuant le produit de la matrice ligne des coordonnées de
par la matrice jacobienne de
(dans une même colonne, on trouve les dérivées partielles par rapport à la même variable, de sorte qu’ici,
est un numéro de colonne).
Compte-tenu de la fréquence de l’utilisation des coordonnées polaires et sphériques, donnons les formules de transposition dans ces deux cas, avec les variables sans indice comme il est d’usage en dimension 2 ou 3.
ce qui donne, sur un ouvert où la composition a un sens :
et
on calcule donc
ce qui donne, sur un ouvert où la composition a un sens, l’expression de qu’il est plus simple de laisser sous forme matricielle.
Il reste à voir comment la transposition peut être utile pour savoir si une 1-forme est exacte.
Avec les hypothèses de la définition,
Démonstration. Voir le fichier demo15.pdf.
Donner l’expression des 1-formes transposées par de
Ces formes sont-elles exactes sur leur ouvert de définition ?
Donner l’expression des 1-formes transposées par de
Ces formes sont-elles exactes sur leur ouvert de définition ?