Des 1-formes différentielles aux champs de vecteurs - epiphys

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Des 1-formes différentielles aux champs de vecteurs

Description :

Formes exactes et champs gradients, isomorphisme champs/1-formes dans le cas euclidien.

Intention pédagogique :

Comprendre la relation entre 1-formes exactes et champs gradients, et sa généralisation aux 1-formes quelconques.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Cet article propose d’étudier la démarche inverse de Des champs de vecteurs aux 1-formes différentielles, dont le contenu est supposé connu.

situation-problématique Dans un premier temps, on s’intéresse au cas particulier des formes constitué par les différentielles des champs scalaires.
discussion
définition Une forme différentielle \alpha sur un ouvert U de {{R}}^n est appelée exacte s’il existe un champ scalaire f de classe C^1 sur U, tel que \alpha = df . On dit alors que la fonction f est une primitive de \alpha sur U.

f est évidemment définie à une constante additive près.

Une forme exacte s’écrit donc dans la base canonique de {{R}}^n

\alpha  = \sum _{j=1}^{n} \partial_{j} f dx^{j}

La réponse à la question de savoir si les formes exactes sont associées à un champ de vecteurs, est connue dans le cas où {{R}}^n est muni du produit scalaire usuel.

question remue-méningesRappeler ce que l’on entend par là.
On reconnait en effet la définition du gradient Champ gradient, rappelons que c’est l’unique champ de vecteurs qui vérifie la relation

<\overrightarrow {grad} f (a),\;.\;> \, = \,  d_a f

pour tout point a \in U.
synonymes Les formes différentielles exactes sont aussi appelées "totales exactes", sans doute pour rappeler que dans une différentielle toutes les variables interviennent, contrairement aux dérivées partielles. D’autre part, une primitive f est fréquemment appelée un potentiel de \alpha .
question remue-méninges Sur {{R}}^2, la forme définie par \alpha_{(x,y)}= y^2dx+x^2dy est-elle exacte ?
question remue-méninges Sur {{R}}^2, la forme définie par \alpha_{(x,y)}= 2xydx+x^2dy est-elle exacte ?
question remue-méninges Traiter de même le cas des formes \frac {xdy-ydx}{xy}, sur l’ouvert U =]0,+\infty[^2, et celui de \frac{2xydx+(1-x^2)dy}{y^2}, sur l’ouvert U = {{R}}\, \text{x} ]0,+\infty[.
situation-problématique Dans un deuxième temps, on se demande si toutes les 1-formes, exactes ou non, peuvent s’obtenir à partir d’un champ de vecteurs. Autrement dit, la démarche adoptée dans l’article précédent conduit-elle au cas général ?
discussion La réponse est oui si l’on utilise un produit scalaire. L’application de {{R}}^n dans l’espace dual {{R}}^{n *} (espace des formes linéaires), définie par v \mapsto <v,.> est linéaire et injective, et ces espaces sont de même dimension n, c’est donc un isomorphisme.

Si \alpha est une 1-forme différentielle sur un ouvert U de {{R}}^n, en chaque point a \in U l’isomorphisme précédent associe un vecteur X_a tel que pour tout vecteur  h \in {{R}}^n

\alpha _a (h)\,=\, <X_{a},h>.

Il reste à donner un procédé pour trouver X_{a} connaissant \alpha_{a}. Si l’on exprime les champs et les formes dans une base orthonormale (e_{i}) de {{R}}^n, une forme différentielle s’écrit

\alpha  = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j}  dx^{j}

et vecteur cherché sera X_a = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j}(a) e_j. On voit en effet que la relation \alpha _a (h)\,=\, <X_{a},h> sera vérifiée pour tout h. Enfin, lorsque a varie, l’expression en coordonnées montre que l’application a \mapsto X_a est continue, ce qui définit un champ de vecteurs X sur U.

En résumé, on a démontré la propriété suivante :

propriété Proposition

L’application de l’espace vectoriel \mathcal {X}(U) des champs de vecteurs continus sur un ouvert U de {{R}}^n, dans l’espace \Omega ^1 (U) des 1-formes différentielles sur U, définie par X \mapsto \alpha = <X,\, .\,> est un isomorphisme d’espaces vectoriels, les champs et les formes associées ont les mêmes coordonnées respectivement dans une base orthonormale de {{R}}^n et dans la base duale.

Par cet isomorphisme, \overrightarrow {grad} f (a) est l’antécédent de la forme linéaire d_a f.

pour aller plus loin 1-formes différentielles.