Des champs de vecteurs aux 1-formes différentielles - epiphys

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Des champs de vecteurs aux 1-formes différentielles

Description :

Définition d’une 1-forme différentielle, forme associée à un champ de vecteurs par dualité euclidienne, écriture dans une base.

Intention pédagogique :

Motiver la notion de 1-forme différentielle par le passage champ-forme.
Niveau : L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Les situations présentées dans les articles Demi-espaces et Puissance ont montré qu’une forme linéaire peut être associée naturellement à un vecteur, et plus généralement un champ de formes linéaires à un champ de vecteurs.

Ces correspondances s’établissent à l’aide du produit scalaire, par le fait de fixer une des deux variables.

Il s’agit ici de généraliser la méthode.

discussion
définition Une forme différentielle de degré un (ou forme de Pfaff, ou 1-forme différentielle) sur un ouvert U de {{R}}^n est une application continue, définie sur U, à valeurs dans l’espace vectoriel dual {{R}}^{n*} des formes linéaires sur {{R}}^n.
C’est donc un champ (continu) de formes linéaires.

L’espace vectoriel {{R}}^n, étant muni d’un produit scalaire donné <,>, tout champ de vecteurs X sur U définit une 1-forme différentielle \alpha = <X,.>. Autrement dit,

\forall x \in U, \alpha _x = <X_x , .>.

\forall x \in U, \forall h \in {{R}}^n,\alpha _x (h) = <X_x , h>.

ce qu'il faut retenir
  • On retiendra le rôle de chaque variable x et h, étant entendu que la linéarité ne s’applique que relativement à la variable h. C’est pour les dissocier que l’on met plutôt la variable x en indice.
  • Parmi les formes différentielles de degré un, les formes linéaires ont un rôle particulier. Ce sont les formes indépendantes de x.
situation-problématique Evidemment, si l’on oublie la structure euclidienne de {{R}}^n, les formes différentielles existent independemment des champs de vecteurs. Il faut savoir les écrire dans une base donnée.
discussion
  • Une base (e_{j}) de {{R}}^n étant donnée, les formes coordonnées, notées e^{j} ou dx^{j}, sont les plus simples, ce sont les formes linéaires qui en chaque point associent à chaque vecteur sa j^{eme} coordonnée. Si h = \sum _{j=1}^{n} h^j e_j, alors dx^{j} (h)=h^j.

Rappelons que (dx^{j})_{j=1,..,n} forme une base de {{R}}^{n*} appelée base duale de (e_{j})

  • Une forme différentielle \alpha de degré un s’écrit donc

    \alpha = \sum _{j=1}^{n} \alpha _ {j} dx^{j},

    où les \alpha_{j} sont n champs scalaires continus sur U, de sorte qu’en tout point a \in U, et pour tout vecteur h = \sum _{j=1}^{n} h^j e_j \in {{R}}^n,

    \alpha _a (h) = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j} (a) dx^{j} (h)

    = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j} (a) h^j.

En conclusion, on a prouvé le résultat suivant :

propriété Proposition Une forme différentielle \alpha de degré un sur un ouvert U de {{R}}^n s’écrit

\alpha = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j} dx^{j}

où les \alpha_ {j} sont n champs scalaires continus sur U.
notation On notera \mathcal {X}(U) l’espace vectoriel des champs de vecteurs continus sur un ouvert U de {{R}}^n, et \Omega ^1 (U) l’espace vectoriel des formes différentielles de degré 1 sur U.

D’autre part, il est traditionnel de représenter les vecteurs par la matrice colonne de leurs coordonnées dans une base, et les 1-formes par la matrice ligne de leurs coordonnées dans la base duale, de sorte que si \alpha = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j} dx^{j} et h = \sum _{j=1}^{n} h^j e_j ,alors

\alpha _a (h) = \left ( \begin{array}{ccc} \alpha_{1} (a)& ...& \alpha_{n} (a) \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{c} h^1& ...& h^n & \end{array} \right ) = \sum _{j=1}^{n} \alpha_{j} (a) h^j.

question remue-méninges Connaissez-vous des 1-formes d’usage très courant, dont on n’aurait pas encore parlé ici ?
réponse
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pour aller plus loin Pour cela, voir l’article Des 1-formes aux champs de vecteurs.