situation-problématique
Les situations présentées dans les articles
Demi-espaces et
Puissance ont montré qu’une forme linéaire peut être associée naturellement à un vecteur, et plus généralement un champ de formes linéaires à un champ de vecteurs.
Ces correspondances s’établissent à l’aide du produit scalaire, par le fait de fixer une des deux variables.
Il s’agit ici de généraliser la méthode.
discussion
définition
Une
forme différentielle de degré un (ou forme de Pfaff, ou 1-forme différentielle) sur un ouvert

de

est une application continue, définie sur

, à valeurs dans l’espace vectoriel dual

des formes linéaires sur
C’est donc un champ (continu) de formes linéaires.
L’espace vectoriel
étant muni d’un produit scalaire donné
, tout champ de vecteurs
sur
définit une 1-forme différentielle
Autrement dit,


ce qu'il faut retenir
- On retiendra le rôle de chaque variable
et
étant entendu que la linéarité ne s’applique que relativement à la variable
C’est pour les dissocier que l’on met plutôt la variable
en indice. - Parmi les formes différentielles de degré un, les formes linéaires ont un rôle particulier. Ce sont les formes indépendantes de
situation-problématique
Evidemment, si l’on oublie la structure euclidienne de

les formes différentielles existent independemment des champs de vecteurs.
Il faut savoir les écrire dans une base donnée.
discussion
- Une base
de
étant donnée, les formes coordonnées, notées
ou
, sont les plus simples, ce sont les formes linéaires qui en chaque point associent à chaque vecteur sa
coordonnée. Si
alors

Rappelons que
forme une base de
appelée base duale de 
En conclusion, on a prouvé le résultat suivant :
propriété
Proposition
Une forme différentielle

de degré un sur un ouvert

de

s’écrit

où les

sont

champs scalaires continus sur

.
notation
On notera

l’espace vectoriel des champs de vecteurs continus sur un ouvert

de

, et

l’espace vectoriel des formes différentielles de degré 1 sur

.
D’autre part, il est traditionnel de représenter les vecteurs par la matrice colonne de leurs coordonnées dans une base, et les 1-formes par la matrice ligne de leurs coordonnées dans la base duale, de sorte que si
et
alors

question remue-méninges Connaissez-vous des 1-formes d’usage très courant, dont on n’aurait pas encore parlé ici ?
Evidemment, les différentielles des champs scalaires sont des 1-formes, les coefficients \alpha_j sont alors des dérivées partielles.