Puissance - epiphys

Global Local Liste Concept

Puissance

Description :

Puissance d’un champ de forces pour un point matériel.

Intention pédagogique :

Sur l’exemple de la puissance, montrer pourquoi et comment un champ de vecteurs peut se manifester seulement par la 1-forme différentielle associée.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Dans un espace vectoriel euclidien, le produit scalaire est une fonction de deux variables vectorielles.

Si l’une des variables u est fixée, l’application partielle v \mapsto <u,v> est une forme linéaire.

On s’intéresse à deux situations où ces applications partielles apparaissent naturellement. L’une est géométrique Demi-espaces, l’autre présentée ici est mécanique.


situation-problématique Considérons des champs de vecteurs   \mathcal{X} et   \mathcal{Y}. En chaque point M, on a le produit scalaire des vecteurs  \left  \langle    \mathcal{X}_{M},  \mathcal{Y}_{M} \right  \rangle  , d’où un champ d’applications partielles

 \varphi  _{M}= \left  \langle    \mathcal{X}_{M},. \right  \rangle   \textrm{.}

notation

La valeur d’un champ de vecteurs   \mathcal{X} en un point M est notée   \mathcal{X}\left( M\right) ou   \mathcal{X}_{M}. Pour un champ de vecteurs, le choix est indifférent, par contre, pour un champ de formes linéaires  \varphi  ,  \varphi  _{M} étant une forme linéaire, pour tout vecteur V,  \varphi  _{M}\left( V\right) est un réel. On voit que cette notation est préférable à  \varphi  \left( M\right) \left( V\right) .


Envisageons l’action de la pesanteur sur un point matériel de masse  \mu  astreint à se déplacer sur une courbe donnée  \Gamma  .
A chaque instant du mouvement, on s’intéresse au produit scalaire du champ de force et du vecteur vitesse.
Le champ de forces dû à la pesanteur (c’est le poids), est supposé uniforme,   \mathcal{X}_{M}= \mu   \overrightarrow{g} pour tout M.
On remarquera que le champ  \overrightarrow{{{\frac{dM}{dt}}}} des vitesses du point M\left( t\right) n’est défini que le long de  \Gamma  , et tangent à  \Gamma  .
A chaque instant t d’un mouvement, le réel

  \mathcal{P} \left ( t \right ) = \left  \langle   \mu   \overrightarrow{g}, \overrightarrow{{{\frac{dM}{dt}}}} \right  \rangle   \textrm{ , et plus g\'{e}n\'{e}ralement }  \mathcal{P} \left ( t \right ) = \left  \langle  F\left( M\left( t\right) \right) , \overrightarrow{{{\frac{dM}{dt}}}} \right  \rangle

pour un champ de forces   \mathcal{X}_{M\left( t\right) }=F\left( M\left( t\right) \right) , est la puissance du champ de pesanteur à l’instant t, pour le mouvement envisagé.
Pourquoi est-il naturel de regarder   \mathcal{P} \left ( t \right ) comme image du vecteur vitesse par le champ de formes linéaires le long de la trajectoire, défini par

 \varphi  _{t}= \left  \langle  F\left( M\left( t\right) \right) ,. \right  \rangle   \textrm{,}

et comment écrire ce champ  \varphi  _{t} en fonction des formes coordonnées dx, dy, dz (par analogie avec les différentielles) ?

discussion

Une raison est que, pour divers mouvements, le champ de la pesanteur (et plus généralement un champ de forces F) est fixé, et le champ des vitesses est une variable.
Dans un repère orthonormal  \left ( O;i,j,k \right ) , notons F=Ai+Bj+Ck. Les projections A, B, C de F sur les axes sont des champs scalaires, et  \overrightarrow{OM}=xi+yj+zk. Alors,

\begin{eqnarray*}
\mathcal{P}\left( t\right) &=&\varphi _{t}\left( \overrightarrow{\frac{dM}{dt
}}\right) =\left\langle F\left( M(t)\right) ,\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}
\right\rangle \\
&=&A\left( M(t)\right) \frac{dx}{dt}+B\left( M(t)\right) \frac{dy}{dt}
+C\left( M(t)\right) \frac{dz}{dt} \\
&=&A\left( M(t)\right) dx\left( \overrightarrow{\frac{dM}{dt}}\right)
+B\left( M(t)\right) dy\left( \overrightarrow{\frac{dM}{dt}}\right) +C\left(
M(t)\right) dz\left( \overrightarrow{\frac{dM}{dt}}\right) \text{.}
\end{eqnarray*}



Finalement,

 \varphi  _{t}=A \left ( M\left( t\right)  \right ) dx+B \left ( M\left( t\right)  \right ) dy+C \left (M\left( t\right)  \right ) dz \textrm{.}

question remue-méninges Quelle différence y a-t-il entre cette expression et une différentielle ?