Demi-espaces - epiphys

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Demi-espaces

Description :

Caractérisation d’un demi-espace.

Intention pédagogique :

Montrer comment une forme linéaire associée à un produit scalaire interviennent naturellement dans une question géométrique.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Dans un espace vectoriel euclidien, le produit scalaire est une fonction de deux variables vectorielles.

Si l’une des variables u est fixée, l’application partielle v \mapsto <u,v> est une forme linéaire.

On s’intéresse à deux situations où ces applications partielles apparaissent naturellement. L’une est géométrique, l’autre est mécanique Puissance.


notation On remarquera que parmi les deux notations du produit scalaire <u,v> ou u.v, le crochet est préférable pour désigner l’application partielle. Cela permet de l’écrire <u,.>.
situation-problématique Prenons un vecteur unitaire n de l’espace euclidien {{R}}^3. La forme linéaire \phi = <n,.> permet de partager l’espace en mesurant l’écart angulaire des vecteurs avec n. Comment ?
discussion
  • Le noyau de \phi est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à n.D’après le théorème du rang, c’est un plan.
    question remue-méningesPourquoi ?
  • Ce plan partage l’espace en deux demi-espaces caractérisés par les relations <n,v> \; >0 et <n,v> \; <0.

Plus précisément, il est commode d’écrire

 \phi (v) = <n,v> = \|n\| \|v\| \cos (n,v),

de sorte que le projeté orthogonal d’un vecteur v de l’espace sur la droite {{R}}n est le vecteur \phi(v) n, ce qui démontre le résultat énoncé.

question remue-méninges Exprimer \phi à l’aide des coordonnées de n et v dans une base orthonormale.
ce qu'il faut retenir Il faut toujours penser à l’interprétation géométrique des inéquations du premier degré de a forme n^1 x + n^2 y+ n^3 z >0 . Pour savoir de quel côté du plan \phi(v) est positif, il suffit de tester le signe de \phi(v) en prenant un vecteur v dont la position par rapport au plan \phi(v) = 0 est connue.

Le plus simple étant v=n

.