Intégration des 1-formes différentielles, circulation (introduction) - epiphys

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Intégration des 1-formes différentielles, circulation (introduction)

Description :

Intégration le long d’un arc, d’une 1-forme définie sur un ouvert de Rn, ou le long de l’arc.

Intention pédagogique :

Rassembler les définitions et propriétés de base concernant l’intégration d’une 1-forme, le sens des notions introduites étant fourni par la mécanique du point.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction L’article 1-formes différentielles est supposé connu.

En physique, on est plus intéressé par l’intégration d’un champ de vecteurs le long d’un arc comme on l’a vu pour le travail Travail. En fait, ce sont les formes que l’on intègre, il convient d’y revenir pour démontrer les propriétés, bien que chacune puisse être énoncée en termes de champs de vecteurs.


situation-problématique

  \mathcal{U} étant un ouvert de  \mathbb{R} ^{n}, prenons
- une forme différentielle  \alpha   \in   \Omega  ^{1}\left(   \mathcal{U}\right) , notons   \mathcal{X} le champ de vecteurs associé, et
-  \left (  \left [ a,b \right ] , \gamma   \right ) un arc continu, C^{1} par morceaux, défini sur un segment, dont le support est contenu dans   \mathcal{U}.
On se propose de définir une notion d’intégrale de la forme  \alpha  sur  \gamma  , qui redonne l’intégrale de Riemann habituelle dans le cas d’une seule variable.

discussion

L’expression générale de la transposition d’une 1-forme  \alpha  par une application différentiable  \varphi  ,

\left( \varphi ^{\ast }\alpha \right) _{q}=\sum_{i=1}^{p}\left(
\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(\varphi \left( q\right) )\ \frac{\partial x^{j}}{
\partial q^{i}}(q)\right) ~dq^{i}

se particularise ici, pour p=1, en notant t la variable au lieu de q, et devient

 \left( \gamma ^{\ast }\alpha \right) \left( t\right) =\left(
\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(\gamma (t))\ \frac{d}{dt}\gamma ^{j}(t)\right)
dt=\alpha _{\gamma (t)}\left( \gamma ^{\prime }(t)\right) ~dt\text{.}

Le principe de l’intégration d’une 1-forme, le long d’un arc (défini sur un segment I) est simple, la transposition de la forme par la paramétrisation de l’arc ramène à une intégrale sur I.

définition
Définition 1
On appelle intégrale (curviligne) de  \alpha  long de  \gamma  , ou circulation de X long de  \gamma  , le réel noté \oint_{\gamma }\alpha , défini par

\begin{eqnarray*}
\oint_{\gamma }\alpha  &=&\oint_{\left[ a,b\right] }\gamma ^{\ast }\alpha 
\\
&=&\int_{a}^{b}\alpha _{\gamma (t)}\left( \gamma ^{\prime }(t)\right) ~dt \\
&=&\int_{a}^{b}\left\langle \mathcal{X}_{\gamma (t)},\gamma ^{\prime
}(t)\right\rangle ~dt\text{.}
\end{eqnarray*}

question remue-méninges

Une forme différentielle sur un ouvert   \mathcal{U} de  \mathbb{R} s’écrit  \alpha  =fdt, la fonction f étant continue par morceaux sur   \mathcal{U} . Si l’arc  \gamma  est un segment  \left [ a,b \right ]  \subset    \mathcal{U}, paramétré par t, que voit-on ?

La formule de dérivation des fonctions composées donne aussitôt la propriété suivante.

propriété

Proposition 1
Si la forme  \alpha  exacte sur U ,  \alpha  =df f \in   \Omega  ^{0}\left( U\right) , autrement dit, si X= \overrightarrow{ \textrm{grad}}f , alors

{\oint_{ \gamma  } \alpha  = \left ( f \circ   \gamma   \right ) \left( b\right) - \left ( f \circ  \gamma   \right ) \left( a\right)

Autrement dit, l’intégrale ne dépend que des valeurs d’un potentiel aux extrémités (et elle est indépendante du choix du potentiel). En particulier, pour un lacet, {\oint_{ \gamma  } \alpha  =0 .

question remue-méninges

Dans  \mathbb{R} ^{2}, on donne le support de l’arc fermé  \gamma  réunion du segment d’extrémités  \left ( 0,1 \right ) et  \left (0,0 \right ) , du segment d’extrémités  \left ( 0,0 \right ) et \left( 1,0\right) et d’un arc d’astroide, respectivement paramétrés par  \left (0,-t \right ) , \left ( t,0 \right ) ,\left(  \cos  ^{3}t, \sin  ^{3}t\right) .
Calculer { \oint_{ \gamma  }ydx-xdy.

question remue-méninges

Intégrer la forme  \alpha  =y^{2}dx+x^{2}dy sur un cercle  \gamma  paramétré par
x\left( t\right) =a+R \cos  t, \,  y\left( t\right) =R \sin  t. Observer comment le résultat dépend des réels a, \,  R>0.
La forme  \alpha  est-elle exacte ? (donner deux arguments).

situation-problématique

L’énoncé suivant a-t-il un sens ?
"L’intégrale de la forme  \alpha  =y^{2}dx+x^{2}dy sur l’ellipse d’équation {{\frac{x^{2}}{a^{2}}}}+{{\frac{y^{2}}{b^{2}}}}-2{{\frac{x}{a}}}=0 est 2 \pi  a^{2}b ."
Ce n’est le cas que si l’intégrale est indépendante du choix de la paramétrisation, ce qui n’est pas totalement vrai comme on va le voir.

discussion

Proposition 2
Si  \left (  \left [ a,b \right ] , \gamma   \right ) et  \left (  \left [ c,d \right ] , \eta   \right ) deux paramétrisations équivalentes et de même sens d’un arc continu, C^{1} morceaux, défini sur un segment, dont le support est contenu dans un ouvert U R^{n} , et  \alpha  1-forme sur U , alors

\oint_{ \gamma  } \alpha  =\oint_{ \eta  } \alpha

Démonstration
Il existe un difféomorphisme  \theta  : \left [ a,b \right ]  \rightarrow   \left [ c,d \right ] dont la dérivée est positive en tout point, tel que  \gamma  = \eta   \circ   \theta  .

\begin{eqnarray*}
\oint_{\eta }\alpha &=&\int_{\theta (a)}^{\theta (b)}\alpha \left( \eta
(u)\right) \left( \eta ^{\prime }(u)\right) du \\
&=&\int_{a}^{b}\theta ^{\prime }(t)\alpha \left( \gamma (t)\right) \left(
\eta ^{\prime }(\theta \left( t\right) )\right) dt\quad \text{ (1)} \\
&=&\int_{a}^{b}\alpha \left( \gamma (t)\right) \left( \gamma ^{\prime
}(t)\right) dt\text{ \quad (2)} \\
&=&\oint_{\gamma }\alpha
\end{eqnarray*}



(1) théorème du changement de variables dans les intégrales simples
(2) dérivation des fonctions composées

situation-problématique

On a déja vu trois procédés pour savoir si une forme est exacte ou, ce qui revient au même, si un champ est un gradient (1-formes différentielles).
Le fait que l’intégrale d’une forme exacte (ou d’un champ gradient) sur un lacet soit nulle, suggère un nouveau procédé , mais il faut savoir si la réciproque est vérifiée.
Le lemme de Poincaré est un critère d’exactitude de type différentiel (ce n’est un critère c’est à dire une condition nécessaire et suffisante, que localement ou sur des ouverts particuliers), bien que la démonstration donnée consiste à intégrer une forme sur un segment. On va voir ici qu’il se reformule en critère de type intégral, sur un ouvert non vide quelconque.

discussion

Commençons par préciser le vocabulaire.

définition

Définition 2
Un lacet dans R^{n} est un arc  \gamma  continu, C^{1} morceaux, défini sur un segment  \left [a,b \right ] de R , tel que  \gamma  \left( a\right) = \gamma  \left( b\right) .

propriété

Proposition 3
Soit  \alpha  1-forme sur U , Uétant un ouvert de R^{n} . Les propriétés suivantes sont équivalentes
1)  \alpha  une forme exacte.
2) Tout lacet dont le support est contenu dans U , vérifie \oint_{ \gamma  } \alpha  =0 .
3) Pour deux arcs  \gamma  _{1}, \gamma  _{2} , C^{1} morceaux, définis sur un segment, dont le support est contenu dans U , ayant les mêmes extr émités, on a \oint_{ \gamma  _{1}} \alpha  =\oint_{ \gamma  _{2}} \alpha  .

Démonstration
Les implications  \left ( 1 \right )  \Rightarrow   \left ( 2 \right )  \Rightarrow  \left ( 3 \right ) sont claires.
La démonstration du lemme de Poincaré donne exactement l’implication  \left ( 3 \right )  \Rightarrow   \left ( 1 \right ) .
Cette proposition fournit donc un quatrième procédé pour savoir si une forme est exacte (ou si un champ de vecteurs est un gradient).

énoncé

Exercice

Lorsqu’une 1-forme  \alpha  est fermée sur un ouvert U tel que le complémentaire de l’origine dans  \mathbb{R} ^{2}, le lemme de Poincaré ne permet pas de savoir si la forme est exacte ou non. La propriété précédente permet de conclure qu’elle n’est pas exacte s’il existe un lacet  \gamma  à support inclus dans U tel que \oint_{ \gamma  } \alpha   \neq  0.

  1. Est-il opportun de choisir un lacet contenu dans un disque qui ne contient pas l’origine ?
  2. Etudier le cas de  \alpha  ={{\frac{\left( x-y\right) dx+\left( x+y\right) dy}{y^{2}+x^{2}}}}, pour un carré centré à l’origine, dont les côtés, parallèles aux axes, sont décrits à vitesse 1.
situation-problématique

D’après Travail, si une particule est en mouvement sous l’action d’un champ de forces   \mathcal{X}, l’expression de la puissance de la force à chaque instant   \mathcal{P}_{  \mathcal{X}}\left( t\right) = \;< \mathcal{X} \left ( M\left( t\right)  \right ) ,{{\frac{dM}{dt}}}> met en évidence la forme différentielle associée au champ de forces  \alpha  _{  \mathcal{X}}\left( t\right) = <  \mathcal{X} \left ( M\left( t\right)  \right ),. > , et le travail de   \mathcal{X} au cours d’un mouvement entre deux instants  \left [ t_{1},t_{2} \right ] ,   \mathcal{W}_{  \mathcal{X}}= \int_{t_{1}}^{t_{2}}<   \mathcal{X} \left ( M\left( t\right)  \right ) ,{{\frac{dM}{dt}}} >  dt apparaît comme l’intégrale de la forme  \alpha _{  \mathcal{X}} sur la trajectoire.

Remarque
Pour un point matériel, on peut se demander s’il est utile de faire intervenir la forme  \alpha  _{  \mathcal{X}}, regarder le travail comme circulation du champ de forces   \mathcal{X} suffit du point de vue mathématique.
En fait, ce choix est de nature physique. Pour un solide, ou un milieu continu déformable, le champ de forces   \mathcal{X} n’agit que par l’intermédiaire de la forme  \alpha  _{  \mathcal{X}}, c’est un principe à la base de toute la Mécanique depuis Lagrange.
Evidemment, il resterait à préciser ce qu’est  \alpha  _{  \mathcal{X}} dans le cas d’un solide, c’est à l’origine du concept de torseur.
Ici, limitons nous au problème suivant : Les efforts sur une particule de masse  \mu  en mouvement ne sont pas nécessairement la restriction à la trajectoire d’un champ défini sur l’espace ou sur un ouvert de l’espace.
Comparer par exemple les cas suivants.
1) L’action de la pesanteur modélisée par un champ uniforme et constant

  \mathcal{X} \left ( M \right ) = \mu        \mathcal{G}

.
2) La pesanteur modélisée par un champ central de la forme

  \mathcal{X} \left ( M \right ) =-k \mu  {{\frac{ \,   \overrightarrow{OM}}{ \left \|  \overrightarrow{OM} \right \| ^{3}}}

.
3) L’effort de liaison sur un pendule. C’est un champ inconnu à priori en général, qui ne dépend pas que de la seule position, mais aussi de la vitesse, et qui n’est défini que sur la trajectoire (et en aucun autre point de l’espace),   \mathcal{X} \left ( M\left( t\right) ,{{\frac{d}{dt}}}M\left( t\right)  \right ) .
4) De même, le champ des accélérations   \mathcal{A} \left (M\left( t\right)  \right ) ={{\frac{d^{2}}{dt^{2}}}}M\left( t\right) , n’est défini que sur la trajectoire.
Au total, comment étendre les les notions de différentiabilité et de circulation pour un champ de vecteurs   \mathcal{X} \left ( M\left( t\right)  \right ) , ou une forme différentielle  \alpha  _{M\left( t\right) } qui ne sont définis que sur la trajectoire ?

discussion

La réponse est naturelle sachant que la formule  \left  \langle    \mathcal{X}_{ \gamma  \left( t\right) }, \gamma  ^{ '  }\left( t\right)  \right  \rangle  utilisée dans la définition 1, ne dépend que de la restriction du champ à l’arc.

définition
Définition 3
Etant donné un arc paramétré  \left ( I, \gamma   \right ) R^{n} , un champ de vecteurs le long de  \gamma  une application X définie sur  \gamma \left( I\right) , à valeurs dans R^{n} , telle que l’application composée X \circ   \gamma  continue sur I .
Une forme différentielle de degré 1 le long de  \gamma  une application  \alpha  , définie sur I , à valeurs dans l’espace vectoriel dual \left( \mathbb{R}^{n}\right) ^{\ast } formes linéaires sur R^{n} , telle que l’application composée  \alpha   \circ   \gamma  continue sur I .
On appelle intégrale (curviligne) de  \alpha  long de  \gamma  , ou circulation de X long de  \gamma  , le réel

 \oint_{\gamma }\alpha =\int_{\left[ a,b\right] }\gamma ^{\ast }\alpha
=\int_{a}^{b}\alpha _{\gamma (t)}\left( \gamma ^{\prime }(t)\right)
~dt=\int_{a}^{b}\left\langle \mathcal{X}_{\gamma (t)},\gamma ^{\prime
}(t)\right\rangle ~dt\text{.}

A chaque instant d’un mouvement ponctuel, un champ   \mathcal{X} le long du mouvement définit le scalaire  \left  \langle    \mathcal{X} \left (M\left( t\right)  \right ) ,{{\frac{dM}{dt}}} \right  \rangle  , appelé la puissance du champ   \mathcal{X} à l’instant t.
La puissance du champ   \mathcal{A} est l’énergie cinétique   \mathcal{T} \left ( t \right ) ={{\frac{1}{2}}} \mu   \left \| {{\frac{dM}{dt}}} \right \| ^{2} .
Le travail   \mathcal{W}_{  \mathcal{X}} du champ   \mathcal{X} le long du mouvement peut être vu aussi bien comme intégrale de la puissance   \mathcal{W}_{  \mathcal{X}}= \int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathcal{P}\left( t\right)  dt, ou comme circulation de   \mathcal{X}, ou comme intégrale curviligne de la forme associée.

énoncé Supposons que les efforts "dérivent d’un potentiel", c’est à dire que la puissance des efforts, est de la forme   \mathcal{P}_{  \mathcal{X}}\left( t\right) ={{\frac{dU}{dt}}}, où U \left ( M\left( t\right)  \right ) est un champ scalaire le long du mouvement.
Le cas usuel est celui d’un champ gradient   \mathcal{X} \,  = \mu   \,  gradF, dans ce cas U \left ( M \right ) = \mu  F\left( M\right) .
Retrouver l’intégrale première de l’énergie.
pour aller plus loin Voir le concept Elément de longueur.