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Travail

Description :

Définition du travail d’un champ de forces le long de la trajectoire d’un point. Cas d’un champ gradient.

Intention pédagogique :

Donner un exemple issu de la mécanique du point, qui motivera la définition de la circulation d’un champ de vecteurs le long d’un arc.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique

Un point matériel est en mouvement dans un champ de forces   \mathcal{X}_{M\left( t\right) }=F\left( M\left( t\right) \right).

On rappelle Puissance, que

  \mathcal{P} \left ( t \right ) = \left  \langle  F\left( M\left( t\right) \right) , \overrightarrow{{{\frac{dM}{dt}}}} \right  \rangle

est la puissance du champ de forces à l’instant t, pour le mouvement envisagé.

Comment s’appelle le réel

  \mathcal{W} \left ( t_{0},t \right ) = \int_{t_{0}}^{t} \mathcal{P} \left ( t \right )dt \textrm{,}

qu’en est-il du cas où le champ de forces est un gradient : F \left (M \right ) =  \overrightarrow{ \textrm{grad}}U_{M} ?

discussion

  \mathcal{W} \left ( t_{0},t \right ) est appelé le travail des efforts le long de la trajectoire.
Pour un gradient de forces,

 \begin{eqnarray*}
\mathcal{W}\left( t_{0},t\right) &=&\int_{t_{0}}^{t}\left\langle ~
\overrightarrow{\text{grad}}U_{M(t)},\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}
\right\rangle dt \\
&=&\int_{t_{0}}^{t}dU_{M(t)}\left( \overrightarrow{\frac{dM}{dt}}\right) \ dt
\text{ \ (c'est la d\'{e}finition du gradient)} \\
&=&\int_{t_{0}}^{t}\frac{d}{dt}\left( U\circ M\right) (t)\ dt\text{ \ (d\'{e}rivation de fonction compos\'{e}e)} \\
&=&U(M(t))-U(M(t_{0}))\text{.}
\end{eqnarray*}

On voit l’intérêt de cette formule : Si le champ de forces est un gradient, le travail s’obtient sans calculs, il est "indépendant du chemin suivi", et ne dépend que de la différence du potentiel U de la force F aux extrémités de la trajectoire.

pour aller plus loin L’intégrale qui représente le travail est la "circulation" du champ de forces le long de la trajectoire.

Ceci est généralisé dans l’article Circulation