Reconnaitre un gradient - epiphys

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Reconnaitre un gradient

Description :

Résumé de la méthode directe pour savoir si un champ de vecteurs donné est un gradient ; si c’est le cas, trouver un potentiel.

Intention pédagogique :
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


méthode La méthode dite directe pour savoir si un champ de vecteurs X est un gradient consiste à appliquer la définition : existe-t-il un champ scalaire f tel que X=\overrightarrow{ \textrm{grad}f}, autrement dit, tel que df = <\overrightarrow{ \textrm{grad}f} ,\, . \,> ? Pour répondre à la question, on commence par voir si une réponse intrinsèque est possible (sans choix de coordonnées locales), sinon, on essaye de trouver f à l’aide d’un système de coordonnées pour lequel f s’obtient avec le minimum de calculs.
énoncé L’action d’un ressort sur une particule M est modèlisée par le champ
X \,   \left ( M \right ) =-k \left ( OM-l \right ) {{\frac{ \overrightarrow{OM}}{OM}}}, O étant un point donné, k,l des réels >0 fixés.
Déterminer un potentiel de X, sous la forme X=- \overrightarrow{ \textrm{grad}V}.
énoncé

Le champ suivant est-il un gradient ? X(x,y)=(2xy,x^2) sur  \mathbb{R} ^{2}

erreur fréquente Dans les cas simples comme celui qui précède, on est tenté de fournir un potentiel "au jugé", sans se contraindre au raisonnement par analyse synthèse. Cela suffit évidemment pour prouver que le champ est un gradient, mais ne permet pas d’affirmer que l’on a trouvé tous les potentiels.