Expression du gradient en coordonnées locales - epiphys

Global Local Liste Concept

Expression du gradient en coordonnées locales

Description :

Formule générale d’expression d’un champ gradient en coordonnées locales.

Intention pédagogique :

Pouvoir reconnaitre si un champ est un gradient, grâce à un choix de coordonnées locales qui facilite cette reconnaissance.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Les notions de Cartographie de l’espace et de Champ gradient sont supposées connues.

Soit f un champ scalaire de classe C^1, défini sur un ouvert U de {{R}}^n. Si \Phi est un système de coordonnées locales dans {{R}}^n, défini sur l’ouvert \Omega, rappelons que l’application composée f_{\Phi}=f \circ \Phi, est appelée expression de f dans le système des coordonnées locales de \Phi.

f_{\Phi} est définie sur l’ouvert V= {\Phi}^{-1} (U \bigcap \Phi (\Omega)), supposé non vide.

Si a est un point de V, les cordonnées locales de a sont les éléments de la liste q=(\Phi)^{-1} (a), de sorte que

f_{\Phi} (q) = f(a)

On se limitera aux coordonnées locales dont la base naturelle (\partial {_j} \Phi) est orthogonale en tout point.


situation-problématique Qu’entend-t-on par "exprimer le gradient de f dans le système de coordonnées locales \Phi ?

C’est donner les coordonnées du vecteur  \overrightarrow {grad} f (a) dans la base naturelle normalisée

 \varepsilon _j (a) = \frac{\partial {_j} \Phi}{\| \partial {_j} \Phi\| }(q)

à l’aide des dérivées partielles de la fonction f \circ \Phi.

propriété Proposition

L’expression locale du gradient, en un point a de coordonnées locales q=(\Phi)^{-1} (a) est

 (\overrightarrow {grad} f) (a) = \sum _{j=1}^{n} \frac {1}{\| \partial {_j} \Phi\ (q) \|} \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial q_j} (q) \;\varepsilon _j (a).

Démonstration. Voir le fichier demo12.pdf.

exemple En coordonnées sphériques,

  \Phi (\rho,\theta,\varphi) = (\rho \sin \theta \cos \varphi, \rho \sin \theta \sin \varphi, \rho \cos \theta)

 (\overrightarrow {grad} f )(a) =
  \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial \rho} \;\varepsilon _\rho  + \frac{1}{\rho}  \frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial \theta}  \;\varepsilon _\theta + \frac{1}{\rho \sin \theta}\frac{\partial {(f \circ \Phi)}} {\partial \varphi} \;\varepsilon _\varphi

énoncé Donner l’expression du gradient pour les coordonnées polaires, circulaires, paraboliques du plan, définies dans l’article Exemples de coordonnées locales.