Champ gradient d`un champ scalaire - epiphys

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Champ gradient d`un champ scalaire

Description : Notion de gradient d’un champ scalaire, sa caractérisation géométrique.
Intention pédagogique : Définir le gradient de manière intrinsèque pour pouvoir l’évaluer dans tout système de coordonnées locales. Les articles Différentiabilité , Champs C1 et Fonctions implicites en dimension 2, sont supposés connus.
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé : 1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Etant donné un champ scalaire f, de classe C^1, défini sur un ouvert U de {{R}}^n, pour tout point a \in U}, la forme linéaire d_a f s’exprime à l’aide du vecteur des dérivées partielles de f en a :

 N(a)= (\partial{_1} f(a),...,\partial {_n} f(a))

, et du produit scalaire usuel de {{R}}^n, que l’on notera <,>, en remarquant que, pour tout vecteur \Delta a \in {{R}}^n,

d_a f(\Delta a)  = \sum_{j=1}^n  \Delta a^{j} \partial{j}f(a)

 = <N(a) ,\Delta a >


situation-problématique Cette représentation de la différentielle n’est plus valable si l’on prend un système de coordonnées locales quelconque.

Par exemple si f est exprimée en coordonnées polaires, il est facile d’exprimer les relations suivantes comme produit scalaire dans la base canonique de {{R}}^2

d_a f(\Delta a)  =  (\Delta x) \partial{_x}f(x,y)+(\Delta y) \partial{_y}f(x,y)

  =  (\Delta r) \partial{_r}f(r,\theta)+(\Delta \theta) \partial {_\theta}f(r,\theta),

mais à condition d’une part que (x,y) et (r,\theta) représentent le même point, ce qui ne pose pas de problème, mais aussi que (\Delta x, \Delta y) et (\Delta r, \Delta \theta) représentent le même vecteur \Delta a, ce qui est bien plus malcommode à expliciter. On verra Expression du gradient en coordonnées locales , que cela conduit à utiliser la base naturelle au point a, mais celle-ci n’étant plus orthonormale, le vecteur N(a)=( \partial{_x}f,\partial{_y}f) ne peut être remplacé par  ( \partial{_r}f,\partial{_\theta}f)

polaires.jpg

En conclusion, pour exprimer la différentielle d’un champ scalaire en termes de produit scalaire par un vecteur qui reste à définir, il faut une définition intrinsèque.

Le procédé qui va suivre étant l’objet de bien des incompréhensions, détaillons les étapes de la démarche.

  • On commence par prouver que si un tel vecteur existe, il est unique.
  • Sachant que le vecteur N(a) répond à la question, il prouve l’existence de ce vecteur, et en donne l’expression en coordonnées cartésiennes (pour l’exprimer dans un système de coordonnées locales quelconque, on devra revenir à la définition générale, il convient donc de ne pas l’oublier).
propriété Proposition

Etant donné un champ scalaire f, de classe C^1, défini sur un ouvert U de {{R}}^n, pour tout point a \in U}, il existe un vecteur et un seul, noté \overrightarrow {grad} f (a), qui vérifie la relation suivante :

 \forall \Delta a \in  {{R}}^n,  < \overrightarrow {grad} f (a) , \Delta a> = d_af (\Delta a) .

Si l’on exprime f dans la base canonique de {{R}}^n, alors

 \overrightarrow {grad} f (a) = (\partial {_1} f(a),...,\partial {_n} f(a))

définition Définition Le vecteur \overrightarrow {grad} f (a) est appelé le gradient de f au point a, et le champ scalaire f est un potentiel du champ de vecteurs \overrightarrow {grad} f .
Tout champ scalaire de la forme f+Cte est évidemment un potentiel du même champ de vecteurs.

Démonstration de la proposition

  • Si X(a) et Y(a) sont deux solutions, alors par soustraction,

     \forall \Delta a \in  {{R}}^n,  < X(a)-Y(a), \Delta a> = 0,

    or le seul vecteur de {{R}}^n orthogonal à tous les vecteurs de {{R}}^n est le vecteur nul, donc X(a)=Y(a).
  • Le vecteur qui s’écrit N(a) dans la base canonique est une solution, c’est donc une expression du gradient.

Ceci achève la démonstration, mais on peut aussi prouver l’existence et l’unicité du gradient par l’argument suivant, plus abstrait, qui repose sur une propriété d’algèbre linéaire.

L’application de {{R}}^n dans l’espace dual {{R}}^{n *} (espace des formes linéaires), définie par v \mapsto <v,.> est linéaire et injective, et ces espaces sont de même dimension n, c’est donc un isomorphisme, et \overrightarrow {grad} f (a) est l’antécédent de la forme linéaire d_a f.

notation Si l’on ne désigne pas les variables a et \Delta a, la formule de la proposition, ui définit le gradient, donne l’égalité suivante entre deux champs de formes linéaires

<\overrightarrow {grad} f , . > = df .

On rencontre une écriture de cette égalité sous la forme

 \overrightarrow {grad} f . d\overrightarrow {OM} = df.

Pour cela, il est conseillé de se souvenir de ce que cela signifie, ce qui n’est pas vraiment suggéré par cette notation !

D’autre part, il est fréquent d’écrire -\overrightarrow {grad} V au lieu de \overrightarrow {grad} f, c’est à dire -V au lieu de f pour le potentiel.

énoncé En physique, il est parfois plus simple d’écrire un champ de vecteurs sans recours au choix d’un repère qui identifie l’espace à R³, par exemple un champ de gravitation, les lois de Coulomb et de Biot et Savart pour les champs électromagnétiques Reconnaitre un gradient , ou le champ créé par un dipôle Dipôles .

Ceci montre que le souci de définir le gradient d’un champ scalaire sans utiliser de coordonnées ne se réduit pas à une seule problématique d’ordre théorique.

L’exercice qui suit généralise à n variables ce qui a été vu pour n=2 dans l’article variation maximale , et pour n=3 dans l’article Normale à une surface et gradient .

Si f est un champ scalaire de classe C^1, défini sur un ouvert U de {{R}}^n, pour tout point a \in U}, en lequel la différentielle de f n’est pas nulle, exprimer le vecteur \overrightarrow {grad} f en fonction d’un vecteur unitaire normal à l’hyperplan ker d_a f. Il existe deux tels vecteurs, on notera n(a) l’un d’eux, l’autre étant - n(a).