Variation maximale - epiphys

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Variation maximale

Description :

Pour un champ scalaire C1 à deux variables, en un point donné, on s’intéresse au maximum de la dérivée suivant un vecteur unitaire.

Intention pédagogique :

Il s’agit de résoudre un problème d’extrémum de dérivée selon un vecteur, qui conduit à la notion de gradient. Les articles Différentiabilité, Champs C1 et Fonctions implicites en dimension 2, sont supposés connus.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


situation-problématique Supposons donnés
  • Un champ scalaire f(x,y), de classe C^1 sur un ouvert U de {{R}}^2,
  • un point a \in U, ce qui fixe une valeur du champ c=f(a),
  • On suppose que la différentielle de f en a n’est pas nulle, l’ensemble \Gamma des points (x,y) d’égale valeur c du champ, d’équation implicite f(x,y)=c est donc une courbe régulière.

On se pose la question de savoir comment varie le scalaire d_a f(v), en fonction du vecteur v.

question remue-méninges Posée ainsi, la question manque totalement d’intérêt, pourquoi ?

Prenons un vecteur unitaire u, écrit u=cos \theta i+ sin \theta j dans une base orthonormale de {{R}}^2. Alors,

d_a f(u) = (cos \theta) \partial x f(a) + (sin \theta) \partial y f(a)

Cette relation peut-être vue de deux manières différentes :

  • comme produit de la matrice (ligne) jacobienne de f en a, par le vecteur (colonne) u.
  • comme le produit scalaire des deux vecteurs u et N(a), en posant N(a) = \partial x f(a) \: i +\partial y f(a) \: j

Finalement,

 d_a f(u) = \|N(a)\| cos(u,N(a)).

Sous cette forme, il est facile de répondre à la question posée : Lorsque u décrit le cercle unité, en valeur absolue d_a f(u) décrit l’intervalle [0,\|N(a)\|],

  • la valeur  \ 0 correspond aux vecteurs u appartenant au noyau de la forme linéaire d_a f, ce sont les vecteurs tangents en a à la courbe \Gamma, c’est le cas où u est orthogonal à N(a).
  • la valeur maximale correspond aux cas où u est colinéaire à N(a), c’est à dire dans la direction orthogonale à la courbe de niveau \Gamma, u=+/- \frac {N(a)}{\|N(a)\|}.

Rappelons que d_a f(u) est aussi le taux de variation en a du champ f suivant le vecteur u,

D_{u} f(a)=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac {f(a+\lambda u)-f(a)}{\lambda}

. On peut dire que "ce taux est donc maximal lorsque l’on se déplace orthohonalement aux courbes d’égale valeur du champ f". gradient.jpg

situation-problématique Peut_on avoir une autre vision de la question en déployant la figure précédente dans l’espace, c’est à dire en représentant les valeurs du champ f sur "l’axe des z".

On représente la surface paramétrée par z=f(x,y), sur cette surface on place le point m_0= (x_0,y_0,f(x_0,y_0)), avec (x_0,y_0)=a, on représente la courbe \Gamma, et ses vecteurs tangents en m_0.

Un déplacement sur cette surface à partir de m_0 correspond à une variation de (x,y), soit à valeur constante du champ (si l’on reste sur \Gamma), soit avec variation du champ, et dans ce cas, le taux de variation est maximal si l’on suit une "ligne de plus grande pente", dont les vecteurs tangents en m_0 ont une projection horizontale colinéaire au vecteur normal N(a), qui appartient au plan de \Gamma.

Ceci est illustré par la figure ci-dessous où le sens "z croissant" est vers le bas".

grandpente.jpg

ce qu'il faut retenir Avec N(a) = \partial x f(a) \: i +\partial y f(a) \: j, le vecteur unitaire u=\frac {N(a)}{\|N(a)\|} correspond à une valeur maximale du taux D_{u} f(a)=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac {f(a+\lambda u)-f(a)}{\lambda}.