Courbes implicites en dimension 2 - epiphys

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Courbes implicites en dimension 2

Intention pédagogique :

Connaitre une liste minimale de méthodes d’investigation d’une courbe F(x,y)=0.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
Tant que les calculatrices graphiques ne le permettaient pas, une activité classique était d’obtenir pas à pas le maximum de renseignements pour tracer la courbe connaissant l’équation implicite F(x,y)=0.
Ce savoir-faire n’a plus d’intérêt. Nous partons des représentations graphiques pour traiter les questions qu’elles posent, du moins les plus faciles.
Cependant, peu de questions ont une réponse générale et standard. Une méthode est d’aller venir entre la représentation graphique et le raisonnement.
Les représentations données dans l’article Ensembles de niveau d’un champ scalaire sont rappelées avec leur référence : Courbe 1, Courbe 2, etc.
Le champ scalaire F sera supposé de classe C^k, k>0, et l’ensemble étudié, est noté \Gamma = F^{-1} (0) .

situation-problématique Toute symétrie de \Gamma simplifie l’étude.
discussion
Les propriétés suivantes,

F(-x,y)=0 \Leftrightarrow F(x,y)=0

F(x,-y)=0 \Leftrightarrow  F(x,y)=0

F(-x,-y)=0 \Leftrightarrow F(x,y)=0

F(y,x)=0 \Leftrightarrow   F(x,y)=0

lorsqu’elles sont vérifiées pour tout point de \Gamma, sont respectivement équivalentes aux symétries de \Gamma par rapport à l’axe y'y, l’axe x'x, l’origine, la première bissectrice y=x.
Par exemple, la courbe 1, x+x^3 +y-y^5 = 0 est symétrique par rapport à l’origine.
La courbe 2, x^2 - y^2 -2 \ln (\frac {x}{y}) = 0 est symétrique par rapport à la première bissectrice et par rapport à l’origine.
situation-problématique Une deuxième question est de repérer (et calculer si possible) les points non réguliers, c’est à dire résoudre le système

 \overrightarrow {grad} _M F = \overrightarrow {0} \; \mbox{et} \; F(M)=0

ce qui permet de distinguer les points réguliers, au voisinage desquels l’ensemble \Gamma = F^{-1} (0) est un arc paramétrable par x ou y.

discussion La réponse théorique (et seulement existentielle) est fournie par le théorème suivant.
propriété
Théorème des fonctions implicites (cas particulier)
On suppose que F est C^k, k>0 sur un ouvert\Omega de \mathbb R^2, et que M=(a,b) est un point régulier de \Gamma, avec par exemple \frac {\partial F}{\partial y} (a,b) \neq 0.
Alors, il existe un intervalle ouvert I contenant a, un intervalle ouvert J contenant b, et une fonction f \in C^k (I,J) tels que \Gamma soit localement le graphe de f.
Plus précisément, dans \Omega \bigcap \; (I \times J),

 F(x,y)=0  \Leftrightarrow y=f(x)


\Omega \bigcap \; (I \times J) est donc un arc régulier.
De plus,

f'(x)= - \frac {\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} (x,f(x)).


Si \frac {\partial F}{\partial x} (a,b) \neq 0, en permutant les variables x et y, \Gamma est localement paramétrable par y, c’est à dire sous la forme x=g(y).
ce qu'il faut retenir
- Ceci montre que le vecteur  \overrightarrow {grad} _M F est normal à \Gamma au point M.
- La condition \frac {\partial F}{\partial y} (a,b) \neq 0 signifie que le vecteur normal est non parallèle à l’axe (y'y) et justifie la conclusion.
- Conclusion analogue pour \frac {\partial F}{\partial x} (a,b) \neq 0.

On trouvera une démonstration du théorème des fonctions implicites dans l’article Théorème des fonctions implicites.

exemple Exemple 1
Pour la courbe 1, F(x,y)= x+x^3 +y-y^5, les dérivées partielles sont 1+3 x^2 et 1-5y^4, la courbe est globalement paramétrable par y, et seulement localement paramétrable par x, en dehors des deux points pour lesquels y= - (\frac {1}{5})^\frac{1}{4} et y= (\frac {1}{5})^\frac{1}{4}.
Ceci correspond bien à la représentation de \Gamma
Si l’on voulait expliciter le paramétrage x=g(y), il faudrait résoudre l’équation (en x)  x+x^3 = -y + y^5. Observons que, sans le théorème des fonctions implicites, la monotonie de la fonction x \mapsto x+x^3, les limites à l’infini, et le théorème des valeurs intermédiaires conduisent à l’existence de g (mais cela ne donne pas l’expression de g').
exemple Exemple 2
Pour la courbe 2, F(x,y) = x^2 - y^2 -2 \ln (\frac {x}{y}), les dérivées partielles sont 2x- \frac{2}{x} et -2y+\frac{2}{y}, deux points non réguliers apparaissent (-1,-1) et (1,1), en dehors desquels une paramétrisation locale par x ou y est possible.
On note que la droite y=x, privée de l’origine, est une partie de \Gamma. De plus, il semble que la courbe ait deux composantes.
Ceci s’accorde avec la représentation ci-dessus de la partie de \Gamma correspondant à x>0 et y>0, mais pour conclure plus précisément, il faut par exemple étudier les sections de \Gamma avec les demi-droites x=x_0 , x>0, c’est à dire localiser les solutions de l’équation

 - y^2 + 2 \ln y =  - xl_0 ^2 + 2 \ln x_0

Le tableau de variations (ou le graphe) de la fonction y \mapsto - y^2 + 2 \ln y donne la réponse.
situation-problématique La formule donnant le dérivée du paramétrage f permet d’exprimer l’équation de la tangente (ou de la normale) en un point, sous réserve que les coordonnées de celui-ci soient calculables.
question remue-méninges Pour la courbe 1, quelle est l’équation de la tangente à l’origine ?

Mais le théorème dit plus : f est de même classe de différentiabilité que F.
Ceci permet d’obtenir le développement de Taylor de f ou de g.
discussion
Par exemple pour la courbe 1, paramétrée localement par y=f(x) au voisinage de l’origine, écrivons le développement de Taylor de f à l’ordre 3 en (0,0) :
f(x)=f(0)+x f'(0)+\frac {x^2}{2} f''(0) + \frac {x^3}{6} f'''(0) + o(x^3)
On sait déjà que f(0)=0 et f'(0)=-1, donc sur un intervalle ouvert I contenant l’origine,

0=F(x,f(x))= x+x^3+f(x)-f^5 (x)

et donc

0 = x+x^3 -x+\frac {x^2}{2} f''(0) +\frac {x^3}{6} f'''(0)+o(x^3)


En raison de l’unicité d’un d.l., appliqué à la fonction nulle sur I, on déduit que f''(0) =0, \; f'''(0) =-6 et par suite,

f(x)= -x - x^3 + o(x^3)


Ceci montre que la courbe traverse la tangente à l’origine, et confirme la position de la courbe par rapport à la tangente, compte tenu du signe de f(x)+x de part et d’autre.
erreur fréquente
- Pour les dérivées successives de f, ne pas chercher à dériver la formule donnant f'(a).
- Pour le signe de - x^3 + o(x^3), ne pas conclure n’importe comment. Pour être précis, il convient de revenir au sens de cette expression, c’est à dire - x^3 (1+ \epsilon (x)), avec \epsilon (x) de limite nulle en\0, qui est du signe de -x dans tout intervalle où | \epsilon (x)  | <1.
situation-problématique Une troisième question est de savoir prouver que la courbe est éventuellement contenue dans un domaine borné à préciser, ou au contraire, délimiter des régions du plan ne contenant aucun point de la courbe.
discussion
- Les conclusions sont obtenues par des raisonnements spécifiques à chaque cas (les amateurs de recettes seront déçus !).
- Par exemple pour la courbe 4 ci-dessous, notons K=max(|x|,|y|) la norme "infinie" de (x,y) appartenant à \Gamma, et observons que

 K^4 \le x^4 + y^4 \le 2 |x|^3 + |x|^2 +|x||y| \le 2 K^3 + 2 k^2

d’où il résulte immédiatement que K \le 1+ \sqrt {3}.
La courbe est donc contenue dans un carré de côté 2+2 \sqrt {3} centré à l’origine.
- Pour les points de la courbe 1, observons que

x y (y+1) (y-1) (y^2 +1) = x^2 (1+x^2)

Il n’y a donc aucun point de \Gamma dans la région du plan définie par l’inégalité xy (y+1) (y-1) <0 que l’on représente ainsi Ce qui est confirmé par le graphique
situation-problématique
Une quatrième question est de savoir prouver s’il existe des branches infinies, des directions asymptotiques, des asymptotes.
L’observation de \Gamma ne permet pas toujours de les préciser, ni même de conjecturer leur existence.
discussion
- Prenons la courbe 1. En supposant x>0 compte-tenu de la symétrie. Pour x assez grand, \Gamma est paramétrable par x, et à toute valeur de x correspondra un point de la courbe, compte-tenu des variations de y-y^5. Ainsi, \Gamma possède deux branches infinies.
La relation y^5 -y = x+x^3 montre en outre que y tend vers + \infty avec x.
\frac {y^5}{x^5} (1- \frac {1}{y^4}) a même limite que \frac {y^5}{x^5}, et cette limite est nulle. La courbe admet donc l’axe x'x comme direction asymptotique et pas d’asymptote associée.
- Prenons la courbe 3.
Un raisonnement analogue au précédent montre que la courbe admet quatre branches infinies.
Supposons x>0, y>0, la direction de la demi-droite y=x est asymptotique. Pour savoir s’il s’agit d’une asymptote, comme le suggère le graphique ci-dessous, l’étude de l’intersection de \Gamma avec une droite y=x+b, lorsque b tend vers \0 est plus commode que la recherche directe de la limite de y-x.
Les abscisses des points d’intersections sont les solutions de l’équation

 -4 b x^3 + (4-6 b^2 )x^2 + (200 b - 4 b^3 )x + 100 b^2 -b^4 = 0

Les variations du polynôme montrent l’existence de trois racines réelles \lambda _1, \lambda _2, \lambda _3 pour b assez petit, avec

\lambda _1 + \lambda _2 + \lambda _3 = \frac {2-3 b^2}{2 b}, \;  
  \lambda _1  \lambda _2  \lambda _3 = \frac {100 b - b^3}{4}

 \lambda _1  \lambda _2 +  \lambda _2  \lambda _3 + \lambda _1  \lambda _3 = b^2 -50.

Il en résulte que deux des points d’intersection convergent vers l’origine, l’autre vers l’infini sur la demi-droite, y=x est donc une asymptote.
commentaire
- Le théorème des fonctions implicites conduit à des paramétrisations par l’une des coordonnées x ou y. Elles sont donc régulières, mais locales. Il peut être plus intéressant de chercher des paramétrisations de la forme (x(t),y(t)), si possibles globales. En particulier, le cas des courbes unicursales, où x et y sont des fonctions rationnelles de t est une des entrées dans le domaine de la géométrie algébrique, non abordé ici.
- Lorsqu’une paramétrisation est accessible par voie directe, il n’est pas utile de recourir à des outils aussi sophistiqués que le théorème des fonctions implicites.
question remue-méninges Par exemple, que penser de  1+x y - \ln (e^{xy} + e^{-xy}) =0 ?
pour aller plus loin On trouvera
- un énoncé général du théorème des fonctions implicites et deux démonstrations (niveau L3) dans l’article Théorème des fonctions implicites,
- Un commentaire sur les notions de "courbes" et "surfaces" dans l’article Courbes et surfaces.