Points régliers d'un champ scalaire - epiphys

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Points régliers d’un champ scalaire

Description :

Premiers exemples d’ensembles de niveau définis implicitement.

Intention pédagogique :

Pressentir le rôle de la différentielle de la fonction implicite dans la nature d’un ensemble de niveau.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

0 h 30

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
L’article Surfaces et lignes de niveau a donné quelques situations où il est intéressant de regarder des "ensembles de niveau" d’un champ scalaire.
La grande variété des situations possibles n’est qu’à peine entrevue, mais cela est suffisant pour que l’on parle maintenant "d’ensemble" plutôt que "courbe" ou "surface".

situation-problématique
- Un champ scalaire F étant donné, on doit commencer par porter son attention sur la dimension de l’espace de départ.
question remue-méninges Que représente l’équation x+y = 1 dans le plan ou dans l’espace (munis d’un repère) ?

- Une fois choisie la dimension de l’espace de départ, qui sera 2 ou 3 en pratique, on regarde si le champ F est non seulement continu, mais de classe C^1, car tout ce que l’on va faire utilise la différentielle de F.

- Notre objectif est d’obtenir un maximum de renseignements sur l’ensemble de niveau F(M)=0. En dimension 2 ou 3, on ne peut ignorer la visualisation fournie par une calculatrice graphique ou tout logiciel approprié, ce sera le point de départ pour chaque exemple traité. Mais d’une part la seule observation ne permet pas le moindre calcul, d’autre part elle laisse en suspens bien des questions (comportement à l’infini, étude locale).

- Dans tout cela, il se trouve que la différentielle de F, et donc le gradient de F vont jouer un rôle décisif. Il serait difficile ici de prétendre répondre "pourquoi" de manière complète. Par contre, on peut comprendre "comment".

discussion
- Dans le plan, prenons par exemple

F(x,y)= (x^2 +y^2 )^2 -16 x^2

et notons \Gamma l’ensemble de niveau F(M)=0 est la réunion de deux cercles représentés ci-dessous.

Les points du plan en lesquels la différentielle s’annule (ou, ce qui revient au même, les points M en lesquels  \overrightarrow {grad} _M F = \overrightarrow {0} sont les solutions du système

 \left \lbrace \begin{array}{ll}
 4 y (x^2 +y^2 ) = 0 \\ 
 -32 x + 4x (x^2 +y^2 ) = 0
\end{array}\right.


L’origine est une solution évidente, et c’est un point de l’ensemble \Gamma.
Les autres solutions sont les points (2 \sqrt 2 , 0) et (2 \sqrt 2 , 0), mais ils n’appartiennent pas à \Gamma.

- De même, dans le plan euclidien, on sait que l’ensemble de niveau F(M)=0 pour F(x,y)=x^2 +y^2 -1 est le cercle unité, le gradient de F s’annule à l’origine qui n’appartient pas au cercle.

- Finalement, il apparait que si F est classe C^1 sur un ouvert du plan, l’ensemble de niveau \Gamma d’équation implicite F(M)=0 semble être un arc régulier en tout point où la différentielle de F ne s’annule pas.

question remue-méninges Pourquoi parle-t-on "d’équation implicite" de \Gamma ?

- Les éventuels points de \Gamma en lesquels la différentielle de F s’annule ne feront pas l’objet d’une étude ici. Leur classification est beaucoup plus difficile.

- On éliminera aussi des difficultés artificielles. Par exemple, x^2=0 et x=0 dans le plan représentent évidemment la même droite, mais la différentielle de F(x,y)=x^2 s’annule à l’origine, ce qui n’est pas le cas pour G(x,y)=x. De même, F(x,y)=x^2 - y^2=0 correspond à deux droites qu’il est plus facile de considérer séparément.

Plus généralement, un ensemble de niveau de la forme F(x,y)G(x,y)=0 sera regardé comme réunion des ensembles F(x,y)=0 et G(x,y)=0, étudiés séparément.

Revenons au rôle du champ  \overrightarrow {grad} _M F aux points M \in F^{-1} (0). Comme cela semble être le cas, aux points où ce gradient ne s’annule pas, l’ensemble de niveau \Gamma = F^{-1} (0) est, au moins localement, un arc paramétré (on verra plus loin un résultat beaucoup plus précis, connu sous le nom de théorème des fonctions implicites).

Ecrivons t \mapsto (x(t),y(t)) une paramétrisation. En admettant qu’elle est dérivable, la dérivée de la fonction composée constante F((x(t),y(t)) donne d_M F (x'(t),y'(t))=0 ou encore

(\overrightarrow {grad} _M F). (x'(t),y'(t) = \overrightarrow {0}

ce qu'il faut retenir Ceci explique le rôle du champ gradient de F.
- En tout point de \Gamma où il ne s’annule pas, c’est un vecteur normal à \Gamma.
- On en déduit évidemment que le vecteur orthogonal (-y'(t),x'(t) est tangent à \Gamma.
- Cela ne signifie pas qu’il n’existe pas de tangente à \Gamma en un point où le gradient de F est nul. C’est par exemple le cas le long de la droite d’équation x^2 = 0.
- Mais on ne peut formuler aucune conclusion de portée générale. Ainsi, avec F(x,y)= (x^2 +y^2 )^2 -16 x^2, dans tout disque ouvert centré à l’origine, l’ensemble doit être décomposé en deux arcs paramétrés, ou alors il faut utiliser une notion plus générale de tangente.
pour aller plus loin Pour continuer l’exploration des questions qui se posent, on pourra observer divers exemples dans Ensembles de niveau d’un champ scalaire.