Théorème des fonctions implicites - epiphys

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Théorème des fonctions implicites

Description : Enoncé et démonstration du théorème des fonctions implicites.
Intention pédagogique : Donner un énoncé synthétique qui contient les cas particuliers envisagés pour les courbes et les surfaces, et la démonstration qui fait apparaitre ce résultat comme conséquence du théorème d’inversion locale.
Niveau :
L3
Temps d'apprentissage conseillé : 1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Les diverses formulations du théorème des fonctions implicites qui ont été données dans les articles de type "analyser" de ce concept sont des cas particuliers du théorème général qui suit.

situation-problématique Il s’agit de résoudre localement des systèmes d’équations (non linéaires) de p équations à n+p inconnues, de la forme


\left\{ 
\begin{array}{lll}
F_1 (x_1 ,..,x_n ,y_1 ,..,y_p ) & = & 0 \\
....... \\
F_p (x_1 ,..,x_n ,y_1 ,..,y_p ) & = & 0
\end{array}
\right.

où l’on cherche à exprimer y=(y_1 ,..,y_p) comme fonctions de x=(x_1 ,..,x_n).
discussion
propriété
Théorème des fonctions implicites
Données :
n, p et k sont des entiers naturels non nuls.
F est une application C^k définie sur un ouvert\Omega de \mathbb R^n \times \mathbb R^p , à valeurs dans \mathbb R^p, notée

F(x,y)=(F_1 (x,y),...,F_p (x,y))


Notons 0_p le vecteur nul de \mathbb R^p, et supposons que l’ensemble {\cal M} =F^{-1} (0_p) n’est pas vide.
Soit (a,b) un point de {\cal M} pour lequel le déterminant

 \frac {D(F_1 ,..,F_p )} {D(y_1 ,..,y_p)} (a,b) = \text {det} (\frac {\partial F_i}{\partial y_j} (a,b))

est non nul.

Alors,
1) Il existe un voisinage A de a dans \mathbb R^n, un voisinage B de b dans \mathbb R^p, une fonction f \in C^k (A,B), tels que A \times B \subset  \Omega et que, pour (x,y) \in A \times B, on ait l’équivalence

F(x,y)=0  \Leftrightarrow  y=f(x)


2) En notant

\left (  \begin{array}{II} (\frac {\partial F}{\partial x}) &  (\frac {\partial F}{\partial y})\end{array} \right )

la matrice jacobienne de F, composée des deux sous-matrices respectivement de taille p \times n et p \times p, la matrice jacobienne de f au point x s’écrit

J_{x}f = - (\left   \begin{array}{I} \frac {\partial F}{\partial y}\end{array} \right (x,f(x)) )^{-1} \; (\left   \begin{array}{I} \frac {\partial F}{\partial y} (x,f(x)) \end{array} \right ).

Démonstration (limitée à k=1) : Voir le fichier demo 28 ci-joint.
Cette démonstration utilise le théorème d’inversion locale Difféomorphismes .

Remarque
En fait, on peut aussi démontrer directement le théorème des fonctions implicites, et en déduire le théorème d’inversion locale. Les deux théorèmes sont donc équivalents.

pour aller plus loin
- Le théorème des fonctions implicites ne donne qu’une conclusion locale. Une condition suffisante pour qu’une courbe implicite F(x,y)=0 admette une paramétrisation globale est que cette courbe soit connexe par arcs. On trouvera une démonstration dans le chapitre 10 de J.A. Thorpe, Elementary Topics in Differential Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.
- Pour une synthèse sur les notions de courbes et surfaces, on se reportera à l’article Courbes et surfaces .