Exemples de coordonnées locales (1) - epiphys

Global Local Liste Concept

Exemples de coordonnées locales (1)

Description :

Coordonnées circulaires du plan.

Intention pédagogique :

Montrer l’intérêt de varier les points de vue (calculatoire et géométrique) pour prouver qu’une transformation est un difféomorphisme.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

30 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Selon Cartographie, prouver qu’une application définie sur un ouvert U de  {{R}}^2, à valeurs dans un plan E appartient à un système de coordonnées locales compatible avec les coordonnées cartésiennes, c’est vérifier que l’application f qui transforme q=(q^1 , q^2 ) \in U en (x,y)=f(q), coordonnées de m=f(q) dans un repère donné, est un C^1 difféomorphisme.

Les colonnes (\partial_i f (q)) de la matrice jacobienne de f en chaque point q forment alors une base "mobile" de E, car elle dépend de m, appelée base naturelle au point m.


énoncé Démontrer que l’application suivante définit un système de coordonnées locales dans le plan, et préciser les ouverts U et f(U).

q est noté  \left (u,v \right ) et  f  \left ( u,v \right ) = \left ( {{\frac{u}{u^{2}+v^{2}}}},{{\frac{v}{u^{2}+v^{2}}}} \right )  \textrm{.}

Ces coordonnées sont appelées Coordonnées circulaires en raison de la forme des lignes coordonnées. On rappelle que ce sont les images des droites u=cte ou v=cte.