Coordonnées locales - epiphys

Global Local Liste Concept

Coordonnées locales

Description :

Deux exemples de coordonnées locales : coordonnées cartésiennes pour un espace affine, et coordonnées polaires pour un plan.

Intention pédagogique :

Il s’agit, à travers deux exemples simples, de comprendre le rôle des hypothèses qui constituent la définition générale des coordonnées locales Cartographie.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction En suivant la méthode indiquée dans l’article Coordonnées, nous allons détailler le principe des coordonnées dans deux situations.

situation-problématique
  • L’ensemble pour lequel on veut attribuer une liste de coordonnées à chaque élément est un espace affine E de dimension n.
  • Le système dit des coordonnées cartésiennes consiste à associer à chaque repère \mathcal R = (o;e_1 ,..., e_n) de E la bijection \Phi_{\mathcal R} de E dans {{R}}^n, ainsi définie

     \Phi_{\mathcal R}(m)=(x^1,..,x^n)

    où les réels x^i, appelés coordonnées cartésiennes de m dans le repère \mathcal R, sont définis par

     \overrightarrow {om} = \sum _{i=1}^{n} x^i e_i

notation
  • Il sera commode de noter m_{\mathcal R} la liste des coordonnées d’un point m dans un repère \mathcal R, et \overrightarrow {ab}_{\mathcal B} la liste des coordonnées d’un vecteur  \overrightarrow {ab} dans une la base (e_1 ,..., e_n).
  • Si l’on se donne successivement deux repères, nous adopterons une notation classique en Mécanique consistant à noter en majuscules les éléments relatifs au repère initial et en minuscules les éléments relatifs au repère final (en mécanique, on dit repère transformé, c’est bien de cela dont il s’agit, un changement de repère étant une bijection affine, ce qui correspond à une "déformation homogène").
  • Il reste à savoir comment se transforment les coordonnées par changement de repère, d’un repère \mathcal R = (O;E_1 ,..., E_n) à un repère \mathcal R ' = (o;e_1 ,..., e_n).
discussion
question remue-méninges Si P est la matrice de passage d’une base \mathcal B à une base \mathcal B ', rappeler la relation entre les listes \overrightarrow {ab}_{\mathcal B} et \overrightarrow {ab}_{\mathcal B '}.

La relation de Chasles donne

 \overrightarrow {Om}=\overrightarrow {Oo} + \overrightarrow {om}

et donc

 \overrightarrow {Om}_{\mathcal B}=\overrightarrow {Oo}_{\mathcal B}+ \overrightarrow {om}_{\mathcal B}

soit

 m_{\mathcal R}=o_{\mathcal R}+ P \; \overrightarrow {om}_{\mathcal R '}=o_{\mathcal R}+ P \; m_{\mathcal R '}.

Le passage inverse s’en déduit :

 m_{\mathcal R '} = P^{-1} ( m_{\mathcal R}- o_{\mathcal R}).

ce qu'il faut retenir On notera que l’application composée \Phi_{\mathcal R '} \circ (\Phi_{\mathcal R})^{-1}, qui transforme m_{\mathcal R} en m_{\mathcal R '} est une bijection affine, donc un difféomorphisme, dont la matrice jacobienne en tout point est P.

En dimension deux, sans indices, cela donne des formules du genre

  X  = ax+by+c

  Y  = dx+ey+f

situation-problématique Une deuxième situation est celle des coordonnées polaires pour un plan. Contrairement au cas précédent, la définition qui suit montre qu’il est impossible de paramétrer tout le plan par un seul système de coordonnées polaires. C’est la raison pour laquelle on parle de "coordonnées locales"
  • L’ensemble pour lequel on veut attribuer une liste de coordonnées à chaque élément est un plan P.
  • Le système dit des coordonnées polaires se définit ainsi par étapes :
    • Si l’on choisit un point o du plan P, et un vecteur unitaire i, on définit une application du du plan P privé de o, dans {{R}}^2 en associant à tout point m distinct de o, le couple (r,\theta)r=\| \overrightarrow {om} \| est la distance euclidienne de m à o, et \theta est une mesure de "l’angle polaire" (i,\overrightarrow {om}). Cette application n’est pas satisfaisante, car un point m de l’axe (o;i) peut s’écrire comme limite d’une suite convergente de points du plan, en prenant alternativement un point au desus de l’axe et un point au dessous de l’axe, de sorte que la suite de points converge, alors que la suite des valeurs de \theta diverge.
      question remue-méninges Construire une telle suite avec m=o+i par exemple.
    • Pour éviter cela, on associe à chaque couple (o,i) formé d’un point o \in P et d’un vecteur unitaire de \overrightarrow {P}, l’application définie sur le complémentaire de la demi-droite D_i = (o;i), à valeurs dans {{R}}^2, définie comme précédemment.

Cette application, que l’on notera \Phi_{(o,i)} est une bijection de P - D_i sur l’ouvert ]0,+\infty[ \mbox {x}]0,2 \pi[ de {{R}}^2.

définition Définition. Le couple (r,\theta) = \Phi_{(o,i)} (m) est appelé un système de coordonnées polaires du point m.
  • Il reste le troisième point : les changements de coordonnées \Phi_{(o,i)} \circ (\Phi_{(O,I)})^{-1}, qui ne sont visiblement pas des bijections linéaires comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, doivent être des difféomorphismes.
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La raison pour laquelle cette contrainte est imposée apparait clairement dans toutes les applications où des changements de variables sont utiles, en particulier pour résoudre des Equations aux dérivées partielles.

Or, si l’on pose (r',\theta ')=\Phi_{(o,i)} \circ (\Phi_{(O,I)})^{-1} (r,\theta), il n’est pas simple d’exprimer (r',\theta ') en fonction de (r,\theta). Comment faire ?

discussion En réalité, ce qui précède n’est pas suffisant. Dans le cas d’un plan, on dispose à la fois des systèmes de coordonnées cartésiennes (il y en a autant que de repères), et des systèmes de coordonnées polaires (il y en a autant que de couples (o,i)).

On souhaite imposer une condition de compatibilité générale entre tous ces systèmes de coordonnées, et pour cela, il suffit que tout système de coordonnées polaires de la forme \Phi_{(o,i)} soit compatible avec le système de coordonnées cartésiennes \Phi_{\mathcal R}, où \mathcal R est un repère orthonormal de la forme (o;i,j), autrement dit, que l’application définie par

 (x,y) = \Phi_{\mathcal R} \circ (\Phi_{(o,i)})^{-1} (r,\theta)

soit un difféomorphisme de l’ouvert U=]0,+\infty[ \mbox {x} ]0,2 \pi[ de {{R}}^2 sur son image, qui n’est autre que le complémentaire de la demi-droite des couples de la forme (x,0) avec x positif.

question remue-méninges Prouver ce dernier point en utilisant le théorème d’inversion globale Difféomorphismes.

Remarques

  • Il est possible de prouver que le changement de coordonnées envisagé est un difféomorphisme sans utiliser le théorème d’inversion, il suffit d’exprimer la réciproque :

    r=\sqrt {x^2 + y^2} \mbox{ et } \theta = 2 \mbox {arctan} \frac {y}{x+\sqrt {x^2 + y^2}}.

  • Pour le choix du repère orthonormal \mathcal R = (o;i,j), (o;i) étant donné, remarquons que la mesure des angles supposant le plan orienté, il n’y a qu’un seul choix possible du vecteur j.
pour aller plus loin Cartographie