coordonnées - epiphys

Global Local Liste Concept

coordonnées

Description :

Ingrédients pour les paramétrisations cartésiennes du plan

Intention pédagogique :

Mettre en évidence la liste des données nécessaires pour paramétrer le plan à l’aide d’un repère, et apprendre à bien distinguer les types de données.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

15 mn

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Il semble qu’il n’y ait rien de plus simple que d’identifier les points d’un plan et le couple de réels représentant son abscisse et son ordonnée. Ce genre "d’à peu près" est suffisant tant que l’on n’envisage pas d’autres types de coordonnées, mais si l’on veut préciser le sens commun aux divers systèmes de coordonnées locales utilisés, il convient d’être à la fois plus clair et plus précis. On illustre ici les étapes conduisant à l’élaboration d’un système de coordonnées locales, en se limitant au cas bien connu des coordonnées cartésiennes.

discussion
  • Au départ, on se donne l’objet à paramétrer. Ici, c’est un plan affine. Dans un plan, il y a des points, par exemple a,b,c,d.
  • Pour attribuer des coordonnées aux points du plan, un moyen (le plus simple), est de choisir un repère.
    question remue-méninges Quelle est la définition précise d’un repère du plan affine P ?

  • Un repère (O;I,J) définit une bijection de P sur {{R}}^2, en associant à tout point m \in P le couple (X,Y) de réels appelés coordonnées de m dans ce repère, défini par la décomposition du vecteur \overrightarrow {Om} dans la base (I,J), autrement dit

     m=0+XI+YJ

    ou

    \overrightarrow {Om}=XI+YJ

    selon la notation adoptée.

erreur fréquente L’identification d’un point et du couple de ses coordonnées ne peut être qu’une commodité soumise au choix d’un seul repère.
  • Un autre repère (o;i,j) définit une autre bijection de P sur {{R}}^2, en associant à tout point m \in P le couple (x,y) de réels défini par

     m=o+xi+yj

    .

énoncé Dans le cas des figures ci-dessus, le deuxième repère est défini à partir du premier par les relations  o=O+2I,\; i=I+J, \; j=I-J.

Exprimer les coordonnées (x,y) d’un point dans \mathcal R ' en fonction des coordonnées (X,Y) du même point dans \mathcal R, et contrôler les valeurs données sur la figure.

pour aller plus loin Coordonnées locales