Dipôles électrostatiques - epiphys

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Dipôles électrostatiques

Description :

Etablir les expressions du champ et du potentiel, pour un dipôle électrostatique.

Intention pédagogique :

Utiliser le calcul différentiel intrinsèque pour obtenir une approximation au premier ordre d’un champ scalaire, et reconnaitre un gradient.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Du point de vue mathématique, cet article n’est qu’un exercice de calcul différentiel, mais il permet de mettre en oeuvre le calcul différentiel présenté dans le concept Différentielle.

Du point de vue physique, cela montre l’intérêt de l’approximation linéaire tangente d’un champ, par sa différentielle (dans les limites où cette approximation est acceptable).


énoncé ENONCE
  1.  \mathbb{R} ^{n} est muni du produit scalaire usuel, noté  \left  \langle  {} \right  \rangle  , et de la norme associée.
    Compléter le tableau suivant où a \in   \mathbb{R} ^{n}, et {\Delta \in   \mathbb{R} ^{n}, f et g sont des champs scalaires C^{1}, g\left( a\right)  \neq  0, et f\left( a\right) >0.

 \begin{tabular}{|l|}
\hline
d_{a}\left( \left\Vert {}\right\Vert ^{2}\right) \left( \Delta a\right)
=2\left\langle a,\Delta a\right\rangle \\ \hline
d_{a}\left( \frac{1}{g}\right) \left( \Delta a\right) =-\frac{d_{a}g\left(
\Delta a\right) }{\left( g(a)\right) ^{2}} \\ \hline
d_{a}\left( \sqrt{f}\right) \left( \Delta a\right) =\frac{d_{a}f\left(
\Delta a\right) }{2\sqrt{f(a)}} \\ \hline
d_{a}\left( \left\Vert {}\right\Vert \right) \left( \Delta a\right) = \\ 
\hline
d_{a}\left( \frac{1}{\left\Vert {}\right\Vert }\right) \left( \Delta
a\right) = \\ \hline
\end{tabular}

Sur l’ouvert  \mathbb{R} ^{n} \backslash   \left  \{   \overrightarrow{0} \right  \}  , on envisage le champ scalaire défini par f\left( v\right) =\frac{1}{ \left \| v \right \|} .

    1. f est un champ C^{1}, pourquoi ?
    2. A l’aide de la formule de Taylor au premier ordre, appliquée à f en un point a \neq   \overrightarrow{0}, démontrer que {\frac{1}{ \left \| a+ \Delta  a \right \|} }-{\frac{1}{ \left \| a- \Delta  a \right \|} admet une approximation au premier ordre égale à -2{{\frac{ \left  \langle  a, \Delta  a \right  \rangle  }{ \left \| a \right \| ^{3}} \textrm{.}
    3. Un vecteur non nul e étant fixé, on envisage le champ scalaire C^{1} sur  \mathbb{R} ^{n} \backslash   \left  \{   \overrightarrow{0} \right  \}  défini par  \varphi  \left( v\right) ={{\frac{ \left  \langle  v,e \right  \rangle  }{ \left \| v \right \|^{3}}}} \textrm{.}
      En déduire l’expression de d_{v} \left (  \varphi   \right )  \left ( \Delta v \right ) (on commencera par préciser la différentielle au point v du numérateur et du dénominateur).
    4. Une charge électrique q est placée en un point A de l’espace  \mathbb{R} ^{3}, une charge -q est placée en un point B \neq A. Le milieu de  \left ( A,B \right ) est noté O.
      Dans un système d’unités convenable, le potentiel V et le champ électrostatique E de ce système de charges sont donnés, en tout point M distinct de A et B par \begin{eqnarray*}
V(M) &=&q\left( \frac{1}{\left\Vert \overrightarrow{MA}\right\Vert }-\frac{1
}{\left\Vert \overrightarrow{MB}\right\Vert }\right) \text{,} \\
E(M) &=&-\overrightarrow{\text{grad}}V(M)\text{.}
\end{eqnarray*}

Si le point M est assez loin de A, et B, et la distance AB assez petite pour que l’on admette comme valide l’approximation de V au premier ordre, démontrer sans nouveaux calculs à partir des questions précédentes, que les expressions de V et E sont


V(M)=\frac{\left\langle \overrightarrow{p},\overrightarrow{OM}\right\rangle 
}{\left\Vert \overrightarrow{OM}\right\Vert ^{3}}\text{ \ et \ }E(M)=\frac{
3\left\langle \overrightarrow{p},\overrightarrow{OM}\right\rangle }{
\left\Vert \overrightarrow{OM}\right\Vert ^{5}}\overrightarrow{OM}-\frac{
\overrightarrow{p}}{\left\Vert \overrightarrow{OM}\right\Vert ^{3}}\text{,}

\overrightarrow{p}=q\overrightarrow{BA} est appelé moment dipolaire.

Avec ces approximations, le couple de charges est appelé un dipôle électrostatique.