Difféomorphismes - epiphys

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Difféomorphismes

Description :

Difféomorphismes en dimension finie (définition), rang d’une application différentiable, théorème d’inversion globale.

Intention pédagogique :

Donner un outil pratique pour établir qu’une application C1 est un difféomorphisme, et calculer la différentielle de la réciproque, en un point.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction Qu’il s’agisse d’intégration, ou de résolution d’équations (algébriques, différentielles, aux dérivées partielles), dès l’instant où l’on effectue un "changement de variables", c’est à dire le remplacement d’une application f par une application g=foΦ, pour passer de f à g dans les deux sens, on postule que Φ est une bijection, de sorte f=goΦ⁻¹, mais pour relier les différentielles de f et g, on doit postuler également que Φ est de classe C¹ ainsi que Φ⁻¹.

Au total, on a un besoin fréquent de la notion suivante :

définition Définition

Une application f, définie sur une partie ouverte U \subset {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^n, est un C^1- difféomorphisme de U sur f(U) si f est injective, si f est de classe C^1 sur U, et si f^{-1} est de classe C^1 sur f(U) qui est supposé ouvert.

  • f est donc une bijection de U sur f(U)), mais pas nécessairement de de U sur {{R}}^n.
  • Il n’est pas nécessaire de vérifier que f(U)) est ouvert si l’on sait à priori que f^{-1} est continue.

situation-problématique Si l’on sait qu’une application f est un difféomorphisme, on peut exprimer la différentielle de f^{-1} en un point sans connaitre l’expression de f^{-1}.
discussion En effet, le théorème de différentiation des fonctions composées, appliqué aux relations f \circ f^{-1} = Id et f^{-1} \circ f = Id, donne les relations

  \forall a \in U,  d_{f(a)} f^{-1} \circ d_{a}f=Id

et

  \forall b \in f(U),  d_{f^{-1}(b)}f \circ d_{b} f^{-1} = Id.

La différentielle de f en tout point est donc une bijection linéaire, en conséquence, il n’existe pas de difféomorphisme d’un ouvert de {{R}}^n sur un ouvert de {{R}}^m lorsque m \neq n.

Autrement dit, les matrices jacobiennes de f en un point a et de f^{-1} au point b=f(a) sont inverses, et de déterminant non nul.

question remue-méninges Si (X,Y) \to (x,y) est un difféomorphisme entre deux ouverts de {{R}}^m, a-t-on la relation :

(\partial x/\partial X)(\partial X/ \partial x)=\partial x/\partial x=1

Expliquer pourquoi.
situation-problématique La deuxième question est évidemment : comment prouver qu’une application f de classe C^1 est un difféomorphisme ?
discussion
  1. Une première réponse est l’application de la définition.
    exemple Prenons l’exemple de f(x,y)=(x^2,xy). Cette application est C^1 sur {{R}}^2, et pour (a,b) \in {{R}}^2, l’équation (x^2=a , xy =b) possède une solution si a>0, et une seule (\sqrt a, b/\sqrt a) si l’on se restreint au demi plan ouvert U défini par x>0, et f^{-1}(a,b)=(\sqrt a, b/\sqrt a) est alors C^1 sur U. En conclusion, f est un C^1 difféomorphisme du demi-plan U sur lui même.
  • Une deuxième réponse est donnée par le résultat suivant, bien utile dans tous les cas où l’on est incapable d’exprimer f^{-1}, tout en pouvant prouver que f est injective.
propriété Proposition (Théorème d’inversion globale). Si f est une application injective et de classe C^1, définie sur un ouvert U \subset {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^n, si de plus la différentielle d_{a}f en chaque point a \in U est une bijection linéaire, alors f(U) est ouvert et f est un C^1-difféomorphisme de U sur f(U).

Pour prouver que d_{a} f est une bijection linéaire, on a le choix entre les propriétés équivalentes :

  • le déterminant jacobien det(d_{a} f) est non nul.
  • Les vecteurs colonnes (\partial_{j} f(a)) de la matrice jacobienne J_{a} f sont indépendants.
  • Les vecteurs tangents aux arcs t \mapsto f(a+te_{j}) au point f(a) sont indépendants (ce sont exactement les vecteurs \partial_{j}f(a).
notation Si les variables sont notées X=(X^i)) et f(X)=x=(x^i)), le déterminant jacobien det(d_{X} f) = det(J_{X} f) est aussi noté

 \frac {D(x^{1},...,x^{n})}{D(X^{1},...,X^{n})}

pour aller plus loin