Opérations algébriques sur les fonctions différentiables - epiphys

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Opérations algébriques sur les fonctions différentiables

Description :

Opérations algébriques sur les fonctions différentiables, et différentielles associées.

Intention pédagogique :

Il s’agit d’établir un catalogue de formules de différentielles, et en particulier la relation entre les vecteurs tangents par une transformation d’arcs paramétrés.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Après avoir défini ce qu’est une application différentiable, et sa différentielle Application linéaire tangente, il convient de voir comment ce concept se comporte vis à vis des opérations d’addition, de multiplication par un scalaire, de composition.

situation-problématique Un premier résultat concerne la structure d’espace vectoriel, c’est à dire la stabilité par combinaison linéaire.
discussion
propriété Proposition 1. L’ensemble des applications différentiables, définies sur une partie ouverte U de {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^p, est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions continues de U dans {{R}}^p, et pour tout point a \in U, et tout réel \lambda,

 d_a (\lambda f+g)=\lambda d_a f+d_ag

Ceci explique pourquoi la différentielle est un champ d’opérateurs linéaires, en tout point a, d_a applique linéairement l’espace vectoriel des applications différentiables, de U dans {{R}}^p, dans l’espace vectoriel des applications linéaires de {{R}}^n dans {{R}}^p.

La démonstration de la proposition 1 est immédiate, il suffit de remarquer que \lambda d_a f+d_ag est une application linéaire qui vérifie la formule de Taylor :

 (\lambda f+g)(a+\Delta a)-(\lambda f+g)(a)=(\lambda d_a f+d_ag) (\Delta a)+\|\Delta a\| \varepsilon (\Delta a)

avec  \lim_{\|\Delta a\|  \rightarrow 0} \varepsilon (\Delta a)=0, et ensuite, d’appliquer la proposition 1 de l’article Application linéaire tangente.

ce qu'il faut retenir On voit ici l’intérêt d’avoir établi l’unicité de l’application linéaire tangente. S’il en existe une, c’est la différentielle.
question remue-méninges Pour quels types de fonctions la proposition précédente est-elle d’usage courant ?
situation-problématique Etudions maintenant la composition de deux applications différentiables. Il faut évidemment que la composée existe.
discussion
propriété Proposition 2.
  • f est une application continue, définie sur un ouvert U \subset {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^p, g est une application continue, définie sur un ouvert V \subset {{R}}^p, à valeurs dans {{R}}^m, et a est un point de U. On suppose que b=f(a) \in V, de sorte que l’application g \circ f est définie et continue dans l’ouvert f^{-1} (V) inclus dans U.

     f^{-1} (V) \subset {{R}}^n \stackrel {f}{\longrightarrow}  V \stackrel {g}{\longrightarrow} g(V) \subset {{R}}^m

  • Si l’application f est différentiable en un point a \in U, et si l’application g est différentiable au point b = f(a), alors g \circ f est différentiable au point a, et

     d_{a}(g \circ f) = d_{f(a)} g\circ d_{a}f,

    autrement dit,

     \forall a \in {{R}}^n, d_{a}(g \circ f)(\Delta a)=(d_{f(a)}g)(d_{a}f(\Delta a)).

  • Traduction matricielle : les matrices jacobiennes dans les bases canoniques de {{R}}^n, {{R}}^p, {{R}}^m respectivement, sont liées par la multiplication :

     J_{a}(g \circ f)=J_{f(a)}g . J_{a}f.

    autrement dit, pour i=1,..,m et j=1,..,n

     \frac {\partial (g \circ f)^i }{\partial x^j}(a) = 
\sum_{k=1}^p \frac {\partial g^i }{\partial y^k}(f(a)) \frac {\partial f^k }{\partial x^j}(a)

Démonstration : voir le fichier joint demo8.pdf.

erreur fréquente Pour la mise en oeuvre de cette proposition,
  1. On commencera toujours par repérer les dimensions pour vérifier que les fonctions sont composables, et dans quel ordre. Pour cela, faire un diagramme.
  2. Dimensionner les matrices jacobiennes avant le calcul des dérivées partielles. Ici, f va de {{R}}^n dans {{R}}^p, donc p lignes et n colonnes, et g va de {{R}}^p dans {{R}}^m, donc m lignes et p colonnes, on doit effectuer le produit d’une matrice de taille (m,p) par une matrice de taille (p,n), ce qui donne une matrice (m,n), qui est la jacobienne de g \circ f.
  3. Pour l’écriture des matrices jacobiennes, dériver puis affecter (dans cet ordre), et enfin effectuer le produit.
question remue-méninges On pose z=\arctan \frac {u}{v} et u=x\sin y, v=x\cos y.

Calculer \frac {\partial z }{\partial x} et \frac {\partial z }{\partial y} en utilisant la proposition 1.

Il s’agit d’un exemple d’école, l’expression de g \circ f donnant immédiatement le résultat.

situation-problématique Un cas particulier important de composition est obtenu pour n=1.

Dans ce cas, f est un arc paramétré de {{R}}^p, on écrira \gamma au lieu de f, et g \circ \gamma est l’arc transformé de \gamma par g.

On s’intéresse à la relation entre les vecteurs "vitesse" \gamma ' et (g \circ \gamma)'.

discussion
propriété Proposition 3. Avec les données précédentes, si les vecteurs \gamma ' (t) et (g \circ \gamma) ' (t) ne sont pas nuls, la différentielle de g au point \gamma (t) transforme la tangente à l’arc \gamma au point \gamma (t) en la tangente à l’arc g \circ \gamma au point g \circ \gamma (t). Autrement dit,

 d_{\gamma (t)} g (\gamma ' (t)) = (g \circ \gamma) ' (t)

Démonstration. La relation entre dérivée (pour les fonctions d’une seule variable réelle), et différentielle a été vue dans l’article Différentiabilité.

On obtient ainsi

 (g \circ \gamma) ' (t) = d_t {(g \circ \gamma)} (1)

 = d_{\gamma (t)} g (d_t {\gamma (1)})

 =  d_{\gamma (t)} g (\gamma ' (t)) .

La figure ci-dessous illustre la transformation des vecteurs tangents donnée par la proposition 3. Il est recommandé d’effectuer le calcul sur cet exemple, où g(x,y) = (x^2-y^2,2xy), a=(1,1), \gamma(t)=((1+t,(1+t)^2), et contrôler la figure.

question remue-méninges Comment se particularise la proposition 3 dans les cas suivants :
  1. Si g est une application affine, en particulier une projection.
  2. Si \gamma (t) = a+t e_j est la droite parallèle au jème axe, passant par le point a.

La transformation des parallèles aux axes est illustrée par les figures suivantes.

situation-problématique Terminons par une propriété essentielle pour l’aspect cinématique des arcs paramétrés. Elle est relative à la variation de la norme euclidienne de la paramétrisation (attention, le résultat n’est pas valable pour une norme quelconque).
discussion
propriété Proposition 4. Si \| \| est la norme sur {{R}}^n associée à un produit scalaire, et si (I,\gamma) est un arc paramétré C^1 tracé sur {{R}}^n, alors pour tout t \in I,

\frac{d}{dt} ({\| \gamma (t) \|}^2)=2 \: \gamma (t) \, . \, \gamma '(t)

et si l’arc ne passe pas par l’origine,

  \frac{d}{dt} ({\| \gamma (t) \|})=\frac{\gamma (t) \, . \, \gamma '(t)}{{\| \gamma (t) \|}}.

Démonstration. On la trouvera dans le fichier demo8.pdf.
question remue-méninges
  1. Qu’obtient-on si l’arc est un cercle ?
  2. Si l’arc est C^2, qu’obtient-on en remplaçant \gamma par \gamma ' ?
pour aller plus loin
  • On trouvera un formulaire plus complet de différentielles (produit, quotient, racine, logarithme, exponentielle), utilisable pour les champs svalaires, dans le fichier demo8.pdf. Ceci fournit des outils très efficaces pour traiter des exemples avec le minimum de calculs. Voir par exemple l’article Dipôles électrostatiques.
  • Suites naturelles de cet article : Difféomorphismes, et Vecteurs tangents.