Application linéaire tangente - epiphys

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Application linéaire tangente

Description :

Nouvelle définition de la différentiabilité.

Intention pédagogique :
Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Dans les articles Différentiabilité, Champs C1, et Extension aux champs vectoriels, pour prouver qu’un champ est différentiable, il était nécessaire de commencer par prouver l’existence des dérivées partielles (et ensuite, soit la formule de Taylor, soit la continuité des dérivées partielles). Au prix d’une formulation un peu plus abstraite, on va voir ici qu’il est possible de définir la différentiabilité sans supposer l’existence des dérivées partielles, celles-ci venant en conséquence et non à priori.

situation-problématique Dans le cas d’une fonction d’une variable réelle, un point t étant donné, on a vu Ordre de contact que s’il existe une application affine de la forme \Delta t \mapsto f(t) + \alpha \Delta t, ayant on contact d’ordre un en \Delta t =0 avec la fonction \Delta t \mapsto f(t+\Delta t) , alors f est dérivable au point t, et \alpha = f'(t).

Il s’agit d’étendre ce raisonnement au cas des fonctions de n variables.

définition Nouvelle définition de la différentiabilité.

Une application f, définie sur une partie ouverte U de {{R}}^n, à valeurs dans {{R}}^p, est différentiable en un point a \in U s’il existe une application linéaire L_a (dépendante de a), de {{R}}^n dans {{R}}^p, telle que l’application affine \Delta a \mapsto f(a) + L_a {(\Delta a)} et l’application \Delta a \mapsto f(a+\Delta a) ont un contact d’ordre 1 au point \Delta a=0.

Il revient au même de dire que, pour toute variation \Delta a = (\Delta a^1,...,\Delta a^n) \in {{R}}^n, choisie de sorte que le segment [a,a+\Delta a] soit inclus dans U, la relation suivante est vérifiée :

\lim_{\| \Delta a\| \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta a)-f(a)-L_a {(\Delta a})}{\| \Delta a\|}=0.

On dit que l’application linéaire L_a est tangente à f au point a.

L’application f est différentiable dans U si elle est différentiable en tout point de U.

La propriété suivante assure qu’il s’agit bien de la même notion de différentiabilité que celle qui a été introduite dans les articles de type "analyser" du même concept.

propriété Proposition 1.

Si une application f est différentiable en un point a, alors

  1. f est continue en a,
  2. f admet des dérivées partielles au point a dans la direction de chacun des axes de coordonnées,
  3. il n’existe qu’une seule application linéaire tangente à f au point a, c’est la différentielle de f au point a, autrement dit

    L_a (\Delta a) = d_a f (\Delta a) =  \sum_{j=1}^n  {\Delta a}^{j} \partial{j}f(a).

Démonstration : consulter le fichier demo4.pdf.

question remue-méninges Prouver qu’une application linéaire L de {{R}}^n dans {{R}}^p, est différentiable en tout point, et que la différentielle est indépendante du point choisi, et égale à L.

situation-problématique En géométrie, il est utile de connaître la formule suivante qui exprime la différentielle d’une application bilinéaire.

propriété Proposition 2. Toute application bilinéaire B, de {{R}}^n x {{R}}^n dans {{R}}^p, est C^1, et en tout point (a,b) \in {{R}}^n x {{R}}^n,

 d_(a,b) B (\Delta a, \Delta b) = B (a, \Delta b)+B (\Delta a, b).

énoncé La démonstration est un exercice. On remarquera l’intérêt de choisir la norme \|(u,v)\|_{\infty} = max(|u^i|,|v^j|) dans {{R}}^{2n}