Champs C1 - epiphys

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Champs C1

Description :

- Notion de partie ouverte de Rn
- Une condition suffisante de différentiabilité pour un champ scalaire.

Intention pédagogique :

Savoir reconnaître un champ scalaire différentiable sans calculs à l’aide d’une condition suffisante, d’utilisation permanente en calcul différentiel.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

2 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

introduction Au terme de l’analyse précédente Cf.Différentiabilité, pour établir la différentiabilité d’un champ scalaire en un point, on doit procéder à deux vérifications :
- prouver l’existence des dérivées partielles en ce point, et les calculer.
- vérifier la validité de la formule de Tayor en ce point. Il existe un résultat très simple qui permet d’être dispensé de la deuxième vérification dans bien des cas usuels.

situation-problématique Pour formuler ce résultat, il est nécessaire d’être plus précis que précédemment sur l’ensemble de définition des champs envisagés.

Prenons le cas de f(x,y)=\sqrt {1-x^2-y^2}. Si a est un point du cercle d’équation x^2+y^2=1, on ne peut pas dire qu’une expression de la forme f(a+\Delta a) a un sens pour toute variation \Delta a de norme assez petite, car tout disque de centre a contient des points où f n’est pas définie. Quelle hypothèse doit-on faire sur a pour pouvoir écrire la formule de Taylor en ce point ?

La réponse tient dans deux définitions.

définition Définition 1. Si U est une partie de {{R}}^n, et a un point de U, on dit que le point a est intérieur à U s’il existe une boule ouverte de centre a qui soit contenue dans U.

Les normes de {{R}}^n étant équivalentes, toute boule ouverte relative à une norme donnée contient une boule ouverte de même centre, pour la norme euclidienne.

Si n=1, boule ouverte signifiera intervalle ouvert, si n=2, boule ouverte signifiera disque ouvert, etc.

question remue-méninges Démontrer que tous les points d’une boule ouverte B sont intérieurs à B. En est-il de même pour une boule fermée ?
question remue-méninges Dans {{R}}^n, on note U le complémentaire des points d’une suite convergente (v_k). La limite l de cette suite est-elle un point intérieur à U ? (Distinguer deux cas).
définition Définition 2. Une partie U de {{R}}^n est dite ouverte si, oubien elle est vide, oubien tous ses points sont intérieurs.

situation-problématique Venons-en à la propriété annoncée.

propriété Soit f un champ scalaire défini sur une partie ouverte U de {{R}}^n.

Si f admet en chaque point a \in U des dérivées partielles  (\partial  _{1}f \left ( a \right ),..., \partial  _{n}f \left ( a \right )  ), et si chacune des n applications  v \mapsto \partial  _{j}f \left ( v \right ) est continue dans U, alors f est différentiable en tout point de U.

On trouvera la démonstration dans le fichier demo3.pdf.

définition Dans les conditions de la proposition, on dit que f est de classe C^1 dans U.

L’exercice 1 ci-dessous montre l’intérêt de la proposition précédente. L’exercice 2, en montre les limites d’utilisation.

énoncé Exercice 1

Prouver que la fonction f(r,h)= \pi r^2 h qui donne le volume d’une boite cylindrique, est différentiable en tout point a, et en déduire une formule d’approximation de la variation du volume si, à partir d’une donnée a=(r_0,h_0), le rayon et la hauteur subissent une variation \Delta a = (\Delta r, \Delta h).

erreur fréquente Dans l’écriture de la formule de Taylor, ne pas oublier d’exprimer les dérivées partielles au point a=(r_0,h_0).
énoncé Exercice 2

On envisage la fonction f(x,y)=  {(x^2+y^2) sin {\frac {1}{x^2+y^2}}} si (x,y) \not=(0,0) et f(0,0)=0, définie sur {{R}}^2

  1. f est-elle différentiable dans l’ouvert U={{R}}^2 - \{(0,0)\}
  2. f est-elle différentiable en a=(0,0) ?
  3. Préciser l’expression des dérivées partielles en (x,y) \not=(0,0).
  4. La fonction f est-elle C^1 dans {{R}}^2 ?

Plus généralement, toute fonction polynômiale à n variables réelles étant une combinaison linéaire d’expressions de la forme (x_1)^{k_1}...(x_n)^{k_n} est de classe C^1 sur {{R}}^n donc différentiable.

pour aller plus loin Extension aux champs vectoriels