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Différentiabilité

Description :

Cet article donne les définitions de la différentiabilité, et de la différentielle.

Intention pédagogique :

- Comprendre l’enchainement des idées qui conduit des dérivées partielles à la différentiabilité.
- Disposer d’une définition opératoire de la différentiabilité, en terme d’application linéaire et de contact du premier ordre.


Niveau :
L2
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .


introduction
  • Pour une fonction de n variables réelles, une dérivée partielle est une dérivée dans la direction d’un vecteur de base. Il s’agit ici d’étendre cette notion en remplaçant un vecteur de base par un vecteur non nul quelconque.

situation-problématique Une dérivée partielle \partial{j}f(a) d’un champ scalaire f en un point a est un taux de variation en ce point, dans la direction d’un axe de coordonnées, l’axe défini par le vecteur e_{j}=(0,..,0,1,0,..,0) dont la seule coordonnée non nulle est la j^{eme}, égale à 1.

Ce taux est une limte, lorsque l’on fait tendre la variation de la variable \Delta a=\Delta a^{j}e_{j} vers le vecteur nul, autrement dit lorsque le réel \Delta a^{j} tend vers 0.

Comment étendre cette notion pour définir et calculer le taux au point a, dans la direction d’un vecteur u donné quelconque (mais non nul) ?

discussion Deux réponses sont possibles, elles relèvent de deux idées bien différentes.
  1. La première consiste à définir un taux de variation pour f, entre les points a et a+\lambda u, lorsque le réel \lambda tend vers 0. Cela revient à prendre \Delta a=\lambda u, et considérer le vecteur limite (s’il existe)

    D_{u} f(a)=\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac {f(a+\lambda u)-f(a)}{\lambda}

    . Définition 1 Le réel D_{u}f(a) est appelé la dérivée de f au point a, suivant le vecteur u.
  2. La deuxième consiste à procéder par linéarité : le vecteur u se décompose dans la base (e_{j}), sous la forme

     u=(u^1,...,u^n)=\sum_{j=1}^n  u^{j} e_{j}

    , et la notion de taux que l’on charche à définir sera ainsi élaborée sur des situations de généralité croissante :
  • Si u=e_{j}, on prendra comme taux la dérivée partielle \partial{j}f(a),
  • si u=(0,...,u^{j},0,..,0)=u^{j}e_{j} est colinéaire à e_{j} on prendra u^{j} \partial{j}f(a)
  • si u=e_{j}+e_{k}, on prendra \partial{j}f(a)+\partial{k}f(a)
  • Enfin plus généralement, pour u=\sum_{j=1}^n  u^{j} e_{j}, posons

    L_{u} f(a)=\sum_{j=1}^n  u^{j} \partial{j}f(a).

situation-problématique Ceci conduit à une nouvelle question : Si f admet au point a des dérivées partielles \partial{j}f(a), pour j=1,..,n,
  • la dérivée D_{u}f(a) suivant u existe-t-elle ?
  • si oui, a-t-on D_{u}f(a)=L_{u} f(a) ?
discussion La réponse peut être négative. Comparons les taux D_{u}f(a) et L_{u} f(a) sur deux exemples.
  1. Avec n=3, prenons f(x,y,z)=x^2+xy-1/z et a=(1,0,1/2). On s’intéresse à la dérivée de f au point a, suivant le vecteur \overrightarrow{ab}, avec b=(3,2,3/2), autrement dit, u=\overrightarrow{ab}=(2,2,1).
    question remue-méninges Calculer D_{u}f(a).
    question remue-méninges Calculer L_{u}f(a).
  2. Avec n=2, prenons  f(x,y)=y^2/x si x \neq 0 et f(x,y)=0 sinon, a=(0,0) et u=(h,k).
    question remue-méninges A-t-on D_{u}f(a)=L_{u}f(a) ?

La réponse satisfaisante est donnée en termes de contact, avec la propriété suivante.

propriété Proposition

Soit f un champ scalaire continu, défini sur une partie de {{R}}^n admettant au point a des dérivées partielles \partial{j}f(a), pour j=1,..,n.

Alors, le point a étant fixé, les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

  • Pour tout vecteur non nul u, la dérivée D_{u}f(a) de f au point a suivant u existe, et D_{u}f(a)=L_{u} f(a), autrement dit,

    D_{u}f(a)=\sum_{j=1}^n  u^{j} \partial{j}f(a).

  • L’application affine u \mapsto f(a) + L_{u} f(a) et l’application u \mapsto f(a+u) ont un contact d’ordre 1 au point u=0.
définition Définition de la différentiabilité.

Dans les conditions de la proposition, on dit que l’application f est différentiable au point a, et l’application linéaire u \mapsto L_{u} f(a), est la différentielle de f au point a.

La propriété 2 s’écrit aussi, en notant \Delta a au lieu de u,

 f(a+\Delta a)-f(a)=\sum_{j=1}^n  \Delta a^{j} \partial{j}f(a)+\|\Delta a\| \varepsilon (\Delta a)

avec  \lim_{\|\Delta a\|  \rightarrow 0} \varepsilon (\Delta a)=0.

Cette relation est appelée formule de Taylor au premier ordre (pour f, au point a).

notation Les notations habituelles de la différentielle en a, appliquée au vecteur u sont d_a f(u) ou df(a)(u) ou df(a,u).
synonymes La différentielle est aussi appelée "différentielle totale exacte", ce qui ne présente pas d’intérêt particulier.
erreur fréquente Lorsque le point a varie, la différentielle possède deux variables, a et u, mais elle n’est linéaire que par rapport à la variable u.

Il ne faut pas confondre le rôle de chacune de ces deux variables.

Ainsi, df apparaît comme un champ d’applications linéaires.

situation-problématique Si n=1, quel est la relation entre dérivée, dérivée partielle et différentielle ?
discussion
  • Dans {{R}}, la base canonique se réduit au nombre 1, et si l’on prens u=1 dans ce qui précède, on obtient les égalités

    D_1
f(a)=f'(a)=\partial_{1}f(a).

  • Toute application linéaire de {{R}} dans {{R}} est de la forme \alpha x, où \alpha est l’image de 1. Il en résulte que

    d_a f(\Delta a)= (\Delta a) d_a f(1)=(\Delta a) f'(a)

notation Deux questions se posent :
Comment justifier la notation  f'(x)=\frac {df}{dx} ?
Est-ce équivalent à df=f'(x) dx ?

- Ou bien cela signifie que dx et df sont des variations assez petites de la variable x et de son image f(x) pour que l’on puisse confondre le taux de variation et sa limite f'(x), mais ceci n’est que la définition d’une dérivée, le concept de différentielle est distinct, et l’usage du signe égal est alors douteux, ce n’est qu’une approximation au premier ordre, sauf si f est linéaire.

- Ou bien on regarde l’égalité df=f'(x) dx comme une égalité entre deux formes linéaires, mais alors il serait opportun d’écrire d_x f par exemple pour éviter l’erreur signalée ci-dessus : df est un champ de formes linéaires, sa valeur en x est une forme linéaire, qui dépend de x (sauf si f est linéaire).

Acceptons d_x f et f'(x) dx, mais n’oublions pas que le couplage de ces deux formes linéaires (égales) avec la variation \Delta x est respectivement d_x f(\Delta x), et f'(x) \Delta x.

Pour être cohérent, il faut donc que dx (\Delta x)= \Delta x, autrement dit, que dx soit l’application identique, ce qui est très convenable si l’on admet que x désigne l’application identique x \mapsto x.

En conclusion, cette notation peut être expliquée par deux interprétations, mais son usage non justifié renvoie aux mathématiques antérieures au dix-neuvième siècle.

pour aller plus loin La formule de Taylor n’a de sens que si l’on peut trouver dans toutes les directions des vecteurs \Delta a pour lesquels f(a+\Delta a) existe.

De plus, prouver la différentiabilité d’une fonction en vérifiant la formule de Taylor peut-être compliqué.

On trouvera des explications et un procédé simple, appliquable aux cas usuels, dans Champs C1.