Calculs de dérivées partielles - epiphys

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Calculs de dérivées partielles

Description :

Deux exercices pour s’entrainer à calculer des dérivées partielles, et étudier la continuité d’une fonction de deux variables.

Intention pédagogique :

Appliquer la définition d’une dérivée partielle, et choisir une méthode pour prouver la continuité ou la non continuité.


Niveau :
L1
Temps d'apprentissage conseillé :

1 h

Auteur(s) : Pierre AIME .

Documents joints :

énoncé Exercice 1

On envisage la fonction f(x,y)=  {{\frac {y^3}{x^2+y^2}}} si (x,y) \not=(0,0) et f(0,0)=0, définie sur R^2.

  1. Donner l’expression des dérivées partielles en (x,y) \not=(0,0).
  2. Calculer les dérivées partielles à l’origine.
  3. La fonction f est-elle continue à l’origine ?
  4. Les dérivées partielles sont-elles continues à l’origine ?

Exercice 2

On envisage la fonction f(x,y)=  {{\frac {x^2 y}{x^4+y^2}}} si (x,y) \not=(0,0) et f(0,0)=0, définie sur R^2.

  1. Calculer les dérivées partielles à l’origine.
  2. La fonction f est-elle continue en (0,0) ?